ĆWICZENIE 2 WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych
(16.03.2009)
Układ płaski - konwencja zwrotu osi układu
Układ płaski - konwencja zwrotu osi układu
domniemany globalny układ współrzędnych ze zwrotem osi jak na rysunku (nawet jeśli go
nie rysujemy). Układ własny  wersor normalny zewnętrzny do płaszczyzny podziału, wersor
styczny o zwrocie jak od wersora normalnego idą wskazówki zegara, wersor momentów ,
który ciągnie wyróżnione włókna.
Związki różniczkowe w układzie płaskim
dQz dQ
= -qz ( = -q )
dx dx
dM
dM
y
= +Qz ( = +Q )
dx dx
dN dN
= +qx ( = +n )
dx dx
qx składowa obciążenia ciągłego równoległa do osi x układu związanego z osią elementu
belkowego lub ramowego (kierunek podłużny)
qz składowa obciążenia ciągłego prostopadła do osi x układu związanego z osią elementu
belkowego lub ramowego (kierunek poprzeczny)
Znak w związkach różniczkowych podyktowany jest skrętnością układu globalnego
Uwaga: w drugiej płaszczyz
nie znaki sÄ… inne
Analizę przeprowadzamy osobno w każdym przedziale charakterystycznym
Podstawowe przypadki
" q x = 0 (brak obciążenia ciÄ…gÅ‚ego w danym przedziale) Ò! Q x funkcja staÅ‚a
( ) ( )
Ò! M x funkcja liniowa
( )
" q x = constans (staÅ‚e obciążenie ciÄ…gÅ‚e w danym przedziale) Ò! Q x funkcja
( ) ( )
liniowa Ò! M x funkcja kwadratowa
( )
Szczególny przypadek: jeÅ›li istnieje x0 ; Q x0 = 0 Ò! M x0 = Mekstr (ekstremum lokalne
( ) ( )
funkcji momentu
" q x = ax+b (obciążenie ciągłe trójkątne lub trapezowe w danym przedziale)
( )
Ò! Q x funkcja kwadratowa Ò! M x funkcja 3 stopnia
( ) ( )
Nie ma konieczności pisania funkcji, gdy znany jest jej typ oraz wartość początkowa i
końcowa w przedziale
Układ przestrzenny - konwencja zwrotu osi układu
Prawoskrętny układ globalny. Układ własny jest również prawoskrętny i jeśli normalna
zewnętrzna jest zgodna z osią X globalną to pozostałe wersory też są zgodne ze zwrotami
poszczególnych osi układu globalnego.
Zasady graficzne sporządzania wykresów sił przekrojowych dla belek
Wykresy N i Q
" Wykres sił dodatnich może być narysowany zarówno po górnej jak i dolnej stronie
elementu
" Znak umieszczamy pod wykresem
" Wartości określamy w punktach charakterystycznych*
Wykres M
" nie umieszczamy znaku
" wykres rysujemy po stronie włókien rozciąganych
" Wartości określamy w punktach charakterystycznych*
*
" Wykres N może być nieciągły w danym punkcie belki prostej, tylko wtedy gdy
występuje tam siła skupiona mająca niezerową składową na kierunek podłużny
" Wykres Q może być nieciągły w danym punkcie belki prostej, tylko wtedy gdy
występuje tam siła skupiona mająca niezerową składową na kierunek poprzeczny
" Wykres M może być nieciągły w danym punkcie belki prostej, tylko wtedy gdy
występuje tam moment skupiony
" Jeśli wykres jest nieciągły to musimy obliczać wartość lewostronną i prawostronną w
danym punkcie
" Jeśli wykres jest ciągły to musimy obliczać wartość lewostronną albo/lub
prawostronną w danym punkcie i wiadomo, że z drugiej strony wartość jest ta sama.
Zadanie.
Zadaniem jest sporządzenie wykresów funkcji sił przekrojowych poprzez skorzystanie
z zależności różniczkowych dla belki pokazanej na rysunku 3a. Jedna z osi głównych jest
prostopadła do płaszczyzny XZ w której umieszczamy belkę jako ustrój płaski
W przypadku gdy nie ma potrzeby obliczania siły przekrojowej z lewej i prawej strony
punktu charakterystycznego obliczenia przeprowadza siÄ™ tylko raz.
x = 0 Fx (0) = -5 Fz (0) = -2,5 M (0) = 0
y
x=- 2 Fx (2) = -5 Fz (2) = -2,5 M (2) = -5,0
y
x=+ 2 Fx (2) = 0 Fz (2) = 0 M (2) = 25
y
x=- 4 Fx (4) = 0 Fz (4) = 0 M (4) = 25
y
x=+ 4 Fz (4) = -5
M (6) = -20
x=- 6 Fx (6) = 0 Fz (6) = 20
y
x=+ 6 Fz (6) = 20 M (6) = -20
y
x=- 8 Fx (8) = 0 Fz (8) = 0 M (8) = 0
y
Wykresy:
Wypukłość wykresu momentów jak  wiatr wieje w żagle
Omówienie wypukłości wykresów Q, M
Odtwarzanie obciążeń na belce z podanych wykresów
" Nie zawsze jest możliwe (może brakować danych)
" Muszą być podane podpory, ( jeśli nie to uzyskujemy tylko siły i nie wiadomo czy są
to obciążenia czy reakcje podporowe)
 I II III
Przedział I
" Początkowa wartość siły podłużnej -1 , siła skupiona o wartości 1 skierowana
przeciwnie do wersora normalnego lokalnego układu własnego.
" Początkowa wartość siły poprzecznej -1 , siła skupiona o wartości 1 skierowana
przeciwnie do wersora stycznego lokalnego układu własnego. P1 = 1 kN
" Wykres sił poprzecznych liniowy, to obciążenie ciągłe ma wartość stałą. Skierowanie
przeciwne do wersora ukÅ‚adu lokalnego. P1 + q Å"lI = 3 kN Ò! 1+ q Å"lI = 3 kN
" Wykres momentów zaczyna się od zero, to brak momentu skupionego na końcu belki
q Å"lI q Å"lI
Dla koÅ„ca przedziaÅ‚u I P1 Å"l1 + = 4 kNm Ò! 1Å"l1 + = 4 kNm
2 2
" Z dwóch ostatnich punktów wynika q = 1 kN / m l1 = 2 m
Przedział II
" Skok siły podłuznej o wartość 1 , zwrot skoku do góry czyli zgodny z wersorem
normalnym.
" Skok siły poprzecznej o wartość 5 , zwrot skoku do góry czyli zgodny z wersorem
stycznym. Siła skupiona podporowa o wartości 5 kN.
" Brak skoku momentu, to brak momentu skupionego na początku przedziału II.
" Taki sam kąt nachylenia wykresu sił poprzecznych jak w przedziale I i wykres liniowy.
" q = 1 kN / m , l2 = 2 m (z proporcji rysunku)
" ekstremów na wykresie momentów brak
Przedział III (analiza od końca belki)
" Brak obciążenia ciągłego Q=constans, reakcja podpory przesuwnej
" Brak obciążenia podłużnego,
" Początkowa wartość siły poprzecznej -4, siła skupiona o wartości 4 skierowana
przeciwnie do wersora stycznego lokalnego układu własnego. P2 = 4 kN .
" Początkowa wartość momentu 12 , po stronie włókien górnych.
" Koniec przedziału III ( na styku z II)
" Skok momentu o 2 w kierunku włókien dolnych oglądanych od strony prawej
" Skok siły poprzecznej o wartość 4 o zwrocie zgodnym ze styczną
" lIII = 2 m z proporcji geometrycznych
Sprawdzanie poprawności:
wartości skoków na poszczególnych wykresach,
kąty nachylenia wykresów po obu stronach
PRZYKA
AD z ekstremami momentów
Reakcje podporowe:
( )
"M A = 0 4Å"5Å" 2.5 + 8 - RC Å"7 - 2.4Å" 4Å"9 + 5Å"11 = 0
RC = 3.8 kN
X = 0 H - 5 = 0 H = 5 kN
" A A
( )
"M C = 0
RA = 11.6 kN
Sprawdzenie:
"Y = 0 11.6 + 2.4Å" 4 - 4Å"5 - 5 = 0
Przedział AB miejsce zerowe wykresu sił poprzecznych
11.6 8.4
= Ò! x0 = 2.9 m
x0 5 - x0
4.6 5.0
= Ò! x1 = 2.08 m
x1 4 - x1
Wartości momentu zginającego:
M 0 = 0
( )
2.92
M 2.9 = 11.6Å" 2.9 - 4Å" = 16.84 kNm
( )
2
-
M 5 = 11.6Å"5 - 4Å"5Å" 2.5 = 8.0 kNm
( )
-
M 5 = 11.6Å"5 - 4Å"5Å" 2.5 + 8 = 16.0 kNm
( )
M 7 =11.6Å"7 - 4Å"5Å"4.5 + 8 = -0.8 kNm
( )
1.922
M 8.92 = 11.6Å"8.92 - 4Å"5Å"6.42 + 8 + 3.8Å"1.92 + 2.4Å" = -5.2 kNm
( )
2