ĆWICZENIE 2
WYKRESY sił przekrojowych dla belek prostych
(16.03.2009)
bez pisania funkcji
Układ płaski - konwencja zwrotu osi układu
domniemany globalny układ współrzędnych ze zwrotem osi jak na
rysunku (nawet jeśli go nie rysujemy). Układ własny  wersor normalny
zewnętrzny do płaszczyzny podziału, wersor styczny o zwrocie jak od
wersora normalnego idą wskazówki zegara, wersor momentów , który
ciągnie wyróżnione włókna.
Związki różniczkowe w układzie płaskim
dM
dQz dN
y
=-qz = +Qz = +qx
dx dx dx
dQ dM dN
( =-q) ( = +Q) ( = +n)
dx dx dx
qx składowa obciążenia ciągłego równoległa do osi x układu
zwiÄ…zanego z osiÄ… elementu belkowego lub ramowego (kierunek
podłużny)
qz składowa obciążenia ciągłego prostopadła do osi x układu
zwiÄ…zanego z osiÄ… elementu belkowego lub ramowego (kierunek
poprzeczny)
Znak w związkach różniczkowych podyktowany jest skrętnością układu
globalnego
Uwaga: w drugiej płaszczyz
nie znaki sÄ… inne
Układ przestrzenny - konwencja zwrotu osi układu
Prawoskrętny układ globalny. Układ własny jest również prawoskrętny i
jeśli normalna zewnętrzna jest zgodna z osią X globalną to pozostałe
wersory też są zgodne ze zwrotami poszczególnych osi układu
globalnego
Analizę przeprowadzamy osobno w każdym przedziale
charakterystycznym
Nie ma konieczności pisania funkcji, gdy znany jest jej typ oraz
wartość początkowa i końcowa w przedziale
Podstawowe przypadki
" q x = 0 (brak obciążenia ciÄ…gÅ‚ego w danym przedziale) Ò!Q x
( ) ( )
funkcja staÅ‚a Ò! M x funkcja liniowa
( )
" q x = constans (stałe obciążenie ciągłe w danym przedziale)
( )
Ò!Q x funkcja liniowa Ò! M x funkcja kwadratowa
( ) ( )
Szczególny przypadek: jeÅ›li istnieje x0; Q x0 = 0 Ò! M x0 = Mekstr
( ) ( )
(ekstremum lokalne funkcji momentu
" q x = ax+b (obciążenie ciągłe trójkątne lub trapezowe w danym
( )
przedziale) Ò! Q x funkcja kwadratowa Ò! M x funkcja 3
( ) ( )
stopnia
Zasady graficzne sporządzania wykresów sił przekrojowych dla
belek
Wykresy N i Q
" Wykres sił dodatnich może być narysowany zarówno po górnej jak i
dolnej stronie elementu
" Znak umieszczamy pod wykresem
" Wartości określamy w punktach charakterystycznych*
Wykres M
" nie umieszczamy znaku
" wykres rysujemy po stronie włókien rozciąganych
" Wartości określamy w punktach charakterystycznych*
*
" Wykres N może być nieciągły w danym punkcie belki prostej, tylko
wtedy gdy występuje tam siła skupiona mająca niezerową składową
na kierunek podłużny
" Wykres Q może być nieciągły w danym punkcie belki prostej, tylko
wtedy gdy występuje tam siła skupiona mająca niezerową składową
na kierunek poprzeczny
" Wykres M może być nieciągły w danym punkcie belki prostej, tylko
wtedy gdy występuje tam moment skupiony
" Jeśli wykres jest nieciągły to musimy obliczać wartość lewostronną i
prawostronnÄ… w danym punkcie
" Jeśli wykres jest ciągły to musimy obliczać wartość lewostronną
albo/lub prawostronną w danym punkcie i wiadomo, że z drugiej
strony wartość jest ta sama.
Zadanie.
sporządzenie wykresów funkcji sił przekrojowych
W przypadku gdy nie ma potrzeby obliczania siły przekrojowej z lewej i
prawej strony punktu charakterystycznego obliczenia przeprowadza siÄ™
tylko raz.
x = 0 Fx(0) = -5 Fz (0) = -2,5 M (0) = 0
y
-
x = 2 Fx(2) = -5 Fz (2) = -2,5 M (2) = -5,0
y
+
x = 2 Fx(2) = -5 + 5 = 0 Fz (2) = -2.5 + 2.5 = 0
M (2) = -5 + 30 = 25
y
-
x = 4 Fx(4) = -5 + 5 = 0 Fz (4) =-2.5 + 2.5 = 0
M (4) = -2.5Å" 4 + 2.5Å" 2 + 30 = 25
y
+
x = 4 Fz (4) = -5
-
x = 6 Fx(6) = 0 Fz (6) = -5 M (6) = +15
y
+
x = 6 Fz (6) = 20 M (6) = -20
y
-
x = 8 Fx(8) = 0 Fz (8) = 0 M (8) = 0
y
Wykresy:
Wypukłość wykresu momentów jak  wiatr wieje w żagle
Przykład na kartkówkę
 omówienie wypukłości wykresów Q, M
Odtwarzanie obciążeń na belce z podanych wykresów
" Nie zawsze jest możliwe (może brakować danych)
" Muszą być podane podpory, ( jeśli nie to uzyskujemy tylko siły i nie
wiadomo czy są to obciążenia czy reakcje podporowe)
 I II III
Przedział I
" Początkowa wartość siły podłużnej -1 , siła skupiona o wartości 1
skierowana przeciwnie do wersora normalnego lokalnego układu
własnego.
" Początkowa wartość siły poprzecznej -1 , siła skupiona o wartości 1
skierowana przeciwnie do wersora stycznego lokalnego układu
własnego. P1 = 1 kN
" Wykres sił poprzecznych liniowy, to obciążenie ciągłe ma wartość
stałą. Skierowanie przeciwne do wersora układu lokalnego.
P1 + q Å"lI = 3 kN Ò! 1+ q Å"lI = 3 kN
" Wykres momentów zaczyna się od zero, to brak momentu
skupionego na końcu belki Dla końca przedziału I
q Å"lI q Å"lI
P1 Å"l1 + = 4 kNm Ò! 1Å"l1 + = 4 kNm
22
" Z dwóch ostatnich punktów wynika q =1 kN / m l1 = 2 m
Przedział II
" Skok siły podłuznej o wartość 1 , zwrot skoku do góry czyli zgodny z
wersorem normalnym.
" Skok siły poprzecznej o wartość 5 , zwrot skoku do góry czyli
zgodny z wersorem stycznym. Siła skupiona podporowa o wartości
5 kN.
" Brak skoku momentu, to brak momentu skupionego na poczÄ…tku
przedziału II.
" Taki sam kąt nachylenia wykresu sił poprzecznych jak w przedziale
I i wykres liniowy.
" q =1 kN / m, l2 = 2 m (z proporcji rysunku)
" ekstremów na wykresie momentów brak
Przedział III (analiza od końca belki)
" Brak obciążenia ciągłego Q=constans, reakcja podpory przesuwnej
" Brak obciążenia podłużnego,
" Początkowa wartość siły poprzecznej -4, siła skupiona o wartości 4
skierowana przeciwnie do wersora stycznego lokalnego układu
własnego. P2 = 4 kN .
" Początkowa wartość momentu 12 , po stronie włókien górnych.
" Koniec przedziału III ( na styku z II)
" Skok momentu o 2 w kierunku włókien dolnych oglądanych od
strony prawej
" Skok siły poprzecznej o wartość 4 o zwrocie zgodnym ze styczną
" lIII = 2 m z proporcji geometrycznych
Sprawdzanie poprawności:
wartości skoków na poszczególnych wykresach,
kąty nachylenia wykresów po obu stronach
PRZYKA
AD z ekstremami momentów
reakcje podporowe:
4Å"5Å" 2.5 + 8 - RC Å"7 - 2.4Å" 4Å"9 + 5Å"11 = 0
"M ( A) = 0
RC = 3.8 kN
X = 0 HA - 5 = 0 HA = 5 kN
"
RA =11.6 kN
"M (C) = 0
Sprawdzenie: 11.6 + 2.4Å" 4 - 4 Å"5 - 5 = 0
"Y = 0
Przedział AB miejsce zerowe wykresu sił poprzecznych
11.6 8.4
= Ò! x0 = 2.9 m
x0 5 - x0
Przedział CD miejsce zerowe wykresu sił poprzecznych
4.6 5.0
= Ò! x1 = 1.92 m
x1 4 - x1
Wartości momentu zginającego:
2.92
M 0 = 0 M 2.9 =11.6Å" 2.9 - 4Å"=16.84 kNm
( ) ( )
2
-
M 5 =11.6 Å"5 - 4Å"5Å" 2.5 = 8.0 kNm
( )
-
M 5 =11.6Å"5 - 4 Å"5Å" 2.5 + 8 =16.0 kNm
( )
M 7 =11.6Å"7 - 4Å"5Å" 4.5 + 8 = -0.8 kNm
( )
1.922
M 8.92 =11.6Å"8.92 - 4Å"5Å"6.42 + 8 + 3.8Å"1.92 + 2.4 Å" = -5.2 kNm
()
2