Sprawy organizacyjne
" 3 kolokwia
" kartkówki  około 5
" 3 nieobecności nieusprawiedliwione wykluczają z zajęć
" projekty oddane przed kolokwium
" egzamin testowy
" punkty bonusowe
" jednolity system w grupach
" semestr pierwszy  statyka
" programy komputerowe STATYKA , PRZEKRÓJ (do ściągnięcia ze strony
internetowej)
" http://www.limba.wil.pk.edu.pl
Materiały edukacyjne dostępne w KWM:
Zagadnienia dla studentów autor Adam Zaborski
Wykład Wytrzymałosć Materiałów autor Janusz German
Wytrzymalosc Materialow. Podrecznik dla studentow studiow kierunku budownictwo, autor
Adam Bodnar
Laboratorium Wytrzymałosci Materiałów praca zbiorowa pod redakcją Stefana Piechnika
książki dostępne w bibliotece PK oraz w bibliotece IMB
S. Piechnik, Wytrzymałość Materiałów,
Podręcznik akademicki PK, 2001
 31 Styczen, 2009
Menu Linki...
Skład osobowy katedry stanowią:
· Strona główna
" Profesorowie
· Edukacja
" Marcin Chrzanowski MC, kierownik katedry
· Nauka
" Janusz German JG
· SkÅ‚ad osobowy
· Poczta
Adiunkci
· Konfiguracja e-mail
" Mariusz Hebda MH
· Bazy danych
" Małgorzata Janus-Michalska MJM
" Adam Kisiel AK
Wybór jezyka
" Piotr Kordzikowski PK
" Paweł Latus PL
Wybierz język
" Kinga Nalepka KNA
interfejsu:
" Adam Zaborski AZ
Wykładowcy
" Marek Matyjaszek MM
" Bogusław Zając BZ
Asystenci
" Krzysztof Nowak KN
Pracownicy Inżynieryjno-Techniczni
" Stanisław Bartecki BS Stanisław Strus SS
ĆWICZENIE 0 Reakcje
(2.03.2009)
Warianty równań dla układu płaskiego.
A)
( ) ( ) ( )
"M A = 0 "M B = 0 "M C = 0
Sprawdzenie: X = 0
" "Y = 0
A,B,C niewspółliniowe
B) X = 0
( ) ( )
"M A = 0 "M B = 0 "
Sprawdzenie: C = 0
( )
"M "Y = 0
Prosta A,B nie jest prostopadła do osi X
A,B,C niewspółliniowe
C) A = 0 X = 0
( )
"M " "Y = 0
Sprawdzenie: B = 0
( )
"M
Prosta A,B nie jest prostopadła do osi X
Prosta A,B nie jest prostopadła do osi Y
Praktyczny wybór taki, aby równania były rozprzęgnięte (o ile nie jest to przepłacone
liczeniem żmudnej geometrii)
O wyborze decyduje
" Rozprzęgnięcie równań w układzie
" A
atwość ułożenia równań
Jeśli podpora ma reakcję momentową to niemożliwe staje się rozprzęgnięcie układu równań
TYPY PODPÓR
przegubowa przesuwna przegubowa nieprzesuwna
´uA `" 0 Ò! HA = 0 ´uA = 0 Ò! HA `" 0
´ vA = 0 Ò! RA = 0 ´ vA = 0 Ò! VA `" 0
pełne utwierdzenie utwierdzenie z przesuwem
´uA = 0 Ò! HA `" 0 ´uA = 0 Ò! HA `" 0
´ vA = 0 Ò! VA `" 0 (´ vA `" 0 Ò! VA = 0 )
´ÕA = 0 Ò! M `" 0 ´ÕA = 0 Ò! M `" 0
A A
utwierdzenie z przesuwem poziomym
´uA `" 0 Ò! HA = 0
´ vA = 0 Ò! VA `" 0
´ÕA = 0 Ò! M `" 0
A
przegubowa nieprzesuwna
2 niezależne siły na dwóch dowolnych wzajemnie prostopadłych kierunkach.
przegubowa przesuwna
Reakcja prostopadła do linii przesuwu. Jeśli ją rozkładamy na dwa dowolnie prostopadłe
kierunki, to składowe są zależne (z reguły równoległoboku). (te składowe otrzymujemy
również w programach komputerowych np.STATYKA).
R1 = RA cosÄ… R2 = RA sinÄ…
ZNAKOWANIE MOMENTÓW do zapisu równań równowagi nie ma znaczenia , bo
przyrównujemy sumę momentów do zera. Wystarczy umówić się co do znaku i stosować
konsekwentnie.
np. zgodnie ze wskazówkami zegara plus, a przeciwnie minus.
Dyskusja zwrotów reakcji
Układ uwalniamy od więzów zastępując je reakcjami, przy czym na rysunku obieramy zwrot
reakcji i zaznaczamy go. Jeśli z obliczeń uzyskamy wartość ujemną, to znaczy , że przyjęty
zwrot jest niewłaściwy i należy go zastąpić przeciwnym.
w praktyce skreślamy wcześniej przyjęty zwrot i rysujemy nowy i od tej pory posługujemy
się tym co widzimy na rysunku (nie wynikiem obliczeń z wartością ujemną). Pozwala to
uniknąć błędu.
Np.
" Zakładamy na początku zwrot obu reakcji do góry jak na rysunku
" Równanie
"M (A) = 0 a" M + RB Å"l = 0 Ò! RB = -M
l
" Otrzymujemy ujemny znak reakcji
" Na rysunku skreślamy przyjęty wcześniej zwrot, zmieniamy na przeciwny
" Teraz czytamy tylko z uaktualnionego rysunku i liczymy:
"Y = 0 a" RA + RB = 0 Ò! RA - M = 0 (minus, bo zwrot jest przeciwny do osi Y)
l
M
" RA =
l
ZASADA SUPERPOZYCJI
Obliczyć reakcje
Rozkładamy obciążenie na składniki, i od każdego (w pamięci) liczymy reakcje
+
Reakcje od sumy obciążeń składowych, są sumą reakcji od poszczególnych składników
I otrzymujemy
ZADANIE 1  UKA
ADANIE RÓWNAC
RÓWNOWAGI
RozwiÄ…zanie 1
Równania wariantu A  dla przypadku, gdy reakcjami są 3 siły. Przycięcia kierunków
każdych dwóch sił z tego układu stanowią punkty względem których należy napisać równania
momentów. Gwarantuje to zupełne rozseparowanie równań ze względu na kolejne
niewiadome reakcje, co daje łatwość ich obliczania.
( )
"M 01 = 0 a" R1 Å"10 -10Å"8Å"4 = 0 Ò! R1 = 32 kN
( )
"M A = 0 a" RC Å"8 -10Å"8Å"4 = 0 Ò! RC = 40 kN
6 8 40
Z podobieÅ„stwa trójkÄ…tów : = Ò! r =
10 r 3
"M (02 ) = 0 a" R2 Å" 40 -10Å"8Å" 4 = 0 Ò! R2 = 24 kN
3
Uwaga: obliczenia dla przejrzystości prowadzimy bez jednostek, wynik końcowy podajemy
zawsze z jednostkÄ….
Sprawdzenie np. wariantem B
RozwiÄ…zanie 2
( )
"M A = 0 a" RC Å"8 -10Å"8Å"4 = 0 Ò! RC = 40 kN
( )
"M 0 = 0 a" VA Å"8 -10Å"8Å"4 = 0 Ò! VA = 40 kN
X = 0 a" HA = 0
"
Sprawdzenie
ZADANIE 2  UKA
ADANIE RÓWNAC
RÓWNOWAGI
Równania rozprzężone:
2
X = 0 a" -RA Å" + 20 = 0 Ò! RA = 20 2 kN
"
2
"Y ' = 0 a" -20Å" 22 +VB Å" 22 = 0 Ò! VB = 20 kN
- 20 2 Å" 2 - 20Å"1Å"0.5 = 0 Ò! M = 50 kNm
( )
"M 0 = 0 a" M A A
2
Sprawdzenie: = 0 a" 20 - 20 - 20 + 20 2 Å" = 0
"Y
2
lub
( )
"M A = 0 a" 50 + 20Å"1- 20Å" 2 - 20Å"1Å"1.5 = ?0
OBCI
ŻENIA CI
GA
E
jednostka gęstości obciążenia na metr bieżący kN/m
dla potrzeb równań równowagi konstrukcji jako całości obciążenie ciągłe można zastąpić
wypadkową (jako obciążeniem statycznie równoważnym) .Dla wypadkowej musimy określić
jej wartość punkt zaczepienia oraz kierunek. Na użytek równań równowagi momentów
względem zadanego punktu na płaszczyz
nie należy podać moment jaki daje wypadkowa
względem tego punktu.
Typy obciążeń ciągłych o stałej gęstości
a) M = W Å" d
b) M = W Å" d
M = W Å" d
c)
M = W Å" d
d)
obliczanie momentu w zadanym układzie współrzędnych
r r
r
M = r ×W M = rx Å"Wy - ry Å"Wx
Tak liczymy, gdy ramię d trudno się wyznacza (nietypowy kierunek na płaszczyz
nie)
Obciążenia o zmiennej gęstości
qmax
q x = x
( )
l
qmax
( - qmin
)
q x = qmin + x
( )
l
q1 q2
= Ò! b
b l - b
Liczymy osobno jak dwa trójkąty
Ogólnie:
Gdzie:
l
l +"q(x)Å" x dx
0
W =
+"q(x) dx x0 =
l
0
+"q(x) dx
0
PROJEKT 1
Dla belki podanej na rysunku ułożyć równania równowagi, rozwiązać ze względu na reakcje
oraz sprawdzić poprawność rozwiązania.
Dla ramy podanej na rysunku ułożyć równania równowagi, rozwiązać ze względu na reakcje
oraz sprawdzić poprawność rozwiązania.
Reakcje w układach złożonych (przegubowych)
4 niewiadome reakcje
3 równania równowagi dla całości
1 równanie równowagi momentów względem przegubu
Kolejność układania i rozwiązywania równań podyktowana szybkością rozwiązania (reakcje
obliczone traktujemy w kolejnych równaniach jako znane)
II
M (C) = 0 Ò! -10 - 5Å" 4 - 5Å" 4Å" 2 - 4Å" RG = 0 Ò! RG =10 kN
" y
"M (B) = 0 Ò! -10Å"VA + 8Å"5 - 5Å"8 + 5Å"4Å"2 = 0 Ò! VA =
y
"Y = 0 Ò! -5Å"4 +VA + 6,25 + RF + RE = 0 Ò! RB = 6,25 kN
X = 0 Ò! HA + 5,0 = 0 Ò! HA = -5 kN
"
Belki gerberowskie - inna metoda
Punkty charakterystyczne
" PoczÄ…tek i koniec belki lub konstrukcji
" Punkty , w których przyłożone są więzy (podpory)
" Punkty przyłożenia obciążeń skupionych
" Punkty początkowe i końcowe obciążeń ciągłych określonych jedną funkcją
" Punkty zmiany kąta nachylenia osi względem globalnego układu współrzędnych
PROGRAM STATYKA - schemat blokowy
[P]unkty ----- [E]lementy ------ [W]ięzy ----- [O]bciążenia ----- [R]ezultaty---[L]ista
wyników
[P] punkty charakterystyczne oraz dodatkowe w/g wyboru kolejno numerowane. Dane :
współrzędne punktu
[E] prostoliniowe elementy konstrukcji kolejno numerowane, Å‚Ä…czÄ…ce punkty o podanych
numerach
[W] podpory , każdy typ posiada kod.
[O] obciążenia:
punktowe
a) siła skupiona na kierunku poziomym (wartość i punkt przyłożenia)
b) siła skupiona na kierunku pionowym (wartość i punkt przyłożenia)
c) moment skupiony (wartość, element z podaniem miejsca przyłożenia - początku lub
końca)
ciągłe liniowe (poziome czy pionowe, wartość początkowa , wartość końcowa, element
nad którym przyłożone)
[R] uruchomienie solvera
[L] lista wyników
reakcje , wykresy N, Q, M na poszczególnych elementach , ugięcia belek& & & .
Wersja programu w środowisku WINDOWS
Upraszcza zadawanie konstrukcji przez rysowanie ([P], [E], [W])