ĆWICZENIE 6 Kratownice
(20.04.2009)
definicja
konstrukcja składająca się z prętów prostych połączonych przegubowo
w węzłach, dla której jedynymi obciążeniami są siły skupione
przyłożone w węzłach.
Umowa: jeśli konstrukcja jest kratownicą to w węzłach są przeguby,
nawet jeśli są nie zaznaczone kółkiem. Rysowanie przegubów jest
konieczne jeśli kratownica ma pręty krzyżujące się ze sobą, w celu
odróżnienia punktu skrzyżowania od przegubu.
Warunek konieczny i wystarczający geometrycznej niezmienności i
statycznej wyznaczalności dla kratownicy o oczkach trójkątnych.
2w = p + r
gdzie: w  liczba węzłów
p  liczba prętów
r  liczba reakcji podporowych
SIA
Y PRZEKROJOWE W PR
TACH KRATOWNICY
M x = ax + b
( )
M 0 = a Å"0 + b = 0 Ò! b = 0 M L = a Å" L + b = 0 Ò! a = 0
( ) ( )
dM x
( )
Ò! M x a" 0 = a = 0 Ò! Q x a" 0
( ) ( )
dx
N x = constans Ni- j = N
( )
j-i
Pręt i-j. węzły i , j
układy prętowe
rozciąganie Ni- j > 0 ściskanie Ni- j < 0
układy węzłowe
rozciąganie Ni- j > 0 ściskanie Ni- j < 0
UWAGA: ma kratownicy rysujemy siły odnoszące się do układów węzłowych (umowa)
TWIERDZENIA O PR
TACH ZEROWYCH
a)
słownie: jeśli w nieobciążonym węz
le schodzą się dwa nierównoległe pręty, to obydwa
pręty są zerowe
b)
słownie: jeśli w węz
le schodzą się dwa nierównoległe pręty i węzeł jest obciążony siłą równoległa
do jednego z nich, to drugi pręt jest zerowy.
c)
słownie: jeśli w węz
le nieobciążonym schodzą się trzy pręty, z czego dwa są równoległe, to trzeci
pręt jest zerowy.
Pręty zerowe nie pracują w statyce, więc zanim przystąpimy do rozwiązywania
kratownicy należy te pręty usunąć ( tzn. przerysować kratownicę bez tych prętów).
Kolejność:
- szukamy węzłów, w których schodzą się dwa pręty i stosuje się twierdzenie a).
- usuwamy wyszukane pręty zerowe, przerysowujemy kratownicę i powtarzamy
szukanie
- jeśli nie ma już takich węzłów, do których stosuje się twierdzenie a), to szukamy
węzłów o trzech prętach z zastosowaniem twierdzenia b) lub c).
- usuwamy te pręty i ponawiamy poszukiwanie aż do wyczerpania możliwości usunięcia
prętów.
Uwaga: o tym czy pręt jest zerowy rozstrzyga twierdzenie zastosowane do jednego
węzła i to wystarczy (dla drugiego twierdzenie nie musi się stosować)
PRZYKA
ADY
1)
2)
1. METODA RÓWNOWAŻENIA W
ZA
ÓW
Zastosowanie:
" dla kratownic, które posiadają przynajmniej jeden węzeł, w którym zbiegają się dwa
pręty
" gdy rozwiązujemy całą kratownicę
" do napisania oprogramowania
PRZYKA
AD
Numerujemy węzły (lub oznaczamy literami) H1 =10, V1 = 5, V2 =10
Znajdujemy węzeł w którym zbiegają się dwa pręty, wycinamy z konstrukcji wraz z działającym
na niego obciążeniem i zapisujemy równania równowagi. Równania te, to suma rzutów na dwa
różne kierunki na płaszczyz
nie.
"Z = 0 Ò! N1-3 22 + 5 = 0 Ò! N1-3 = -5 2 kN
"X = 0 Ò! N1-2 + N1-3 22 +10 = 0 Ò! N1-2 = -5 kN
Otrzymane siły mają ujemny znak (są ściskające) stąd ich zwroty są przeciwne do
zaznaczonych na rysunku.
Na końcowym rysunku będącym graficzną ilustracją rozwiązania zaznaczamy
działanie sił na węzeł i zaznaczamy odpowiednie zwroty
N1-2, N1-3 traktujemy jako znane i teraz
Do kolejnych węzłów obliczone siły
poszukujemy następnych węzłów o tylko dwóch niewiadomych siłach.
Wycinamy węzeł 2, gdyż spełnia powyższy warunek i zapisujemy równania
równowagi:
"Z = 0 Ò! N2-3 -10 = 0 Ò! N2-3 =10 kN
"X = 0 Ò! N2-4 + 5 -10 = 0 Ò! N2-4 = 5 kN
Podobnie wycinamy węzeł 4 i otrzymujemy:
"Z = 0 Ò! N4-3 22 + 5 = 0 Ò! N4-3 = -5 2 kN
Można sprawdzić, że dla "X = 0 jest spełniony dla powyższego rozwiązania.
Uwaga: na kratownicy zaznaczamy siły działające na węzłowe układy
własne !!!
i-j
Ni- j
1-3 -5
1-2 -5"2
2-3 +10
2-4 +5
3-4 -5"2
Zadanie.
Zadaniem jest wyznaczenie sił podłużnych w prętach kratownicy
pokazanej na rysunku, wykorzystujÄ…c metodÄ™ Rittera oraz metodÄ™
równoważenia węzłów.
Metoda Rittera
Pierwszym krokiem jest wybór odpowiedniego rozcięcia kratownicy na dwie
części, przecinającego co najwyżej trzy pręty, których kierunki nie zbiegają się
w jednym punkcie.
Drugi krok: równania równowagi wybranej części. Równania te najkorzystniej
zapisać jako równania zerowania momentów względem punktów przecięcia
kierunków dwóch niewiadomych sił. (w przypadku gdy te siły są równoległe
zamiast równania momentów zapisujemy warunek zerowania się sił na
kierunku prostopadłym do rozważanych dwóch niewiadomych sił w prętach.
Tak zapisane warunki równowagi pozwalają uzyskać układ trzech równań
rozdzielonych ze względu na niewiadome siły podłużne w przeciętych prętach.
Dla podanej kratownicy dokonujemy przecięcia i wyboru rozważanej części
jak na rysunku.
i zapisujemy następujące równania:
I
M (C) = 0 Ò! 40Å"3+ r Å" ND-H = 0 Ò!= ND-H = -50 kN
"
y
3 r
= Ò! r = 2.4 m
gdzie ramię siły wyznaczyliśmy z podobieństwa trójkątów:
5 4
I
M (H ) = 0 Ò! 40Å"3+ 3Å" NC-E - 40Å"6 = 0 Ò! NC-E = +40 kN
"
y
I
M (D) = 0 Ò! 4Å" NC-G - 40Å"3 = 0 Ò! NC-G = +30 kN
"
y
W celu wyznaczenia siły podłużnej w pręcie G-H oraz pręcie H-F dokonujemy
wycięcia węzła H. Zapisujemy warunki równowagi wyciętego węzła:
+ 50Å"cosÄ… = 0 Ò! NF -H = -40 kN
"X = 0 Ò! NF -H
"Z = 0 Ò! NG-H - 50Å"sinÄ… = 0 Ò! NG-H = 30 kN
Graficzne przedstawienie rozwiÄ…zania zadania
Drugi sposób: jeśli ramię jest kłopotliwe do wyznaczenia to przecinamy kratownicę tuż
przy węz
le nieskończenie blisko (ale nigdy w samym węz
le). Rozkładamy siłę na
składowe wzdłuż osi x oraz y i wyznaczamy ramiona prostopadłe tzn. na kierunku osi x
oraz y dla tych składowych
ND-H ,x = ND-H Å"cosÄ… = 0.8Å" ND-H ry = 0
ND-H ,y = ND-H Å"sinÄ… = 0.6Å" ND-H rx = 4.0
I
M (C) = 0 Ò! 40Å"3+ ry Å" ND-H ,x + rx Å" ND-H ,y = 0 Ò! ND-H ,y = -30 kN
"
y
ND-H ,y -30
ND-H = == -50
0.6 0.6
Kartkówka
Uwaga:
Jeśli przy przecięciu metodą Rittera przecina się dwa pręty równoległe to siłę w trzecim pręcie
oblicza się z sumy rzutów na kierunek prostopadły do kierunku tych prętów ( gdyż pręty równoległe
nie mają punktu przecięcia)
3
cosÄ… == 0.894 = 0 61.875 - 35 - N3-9 Å"0.894 = 0
"Y
11.25
N3-9 = 30.084