672581037

Przykład 0.4.4 (Gęstość Pareto)

/(*) = |

(a — 1)# “ gdy x > 1 0 poza tym

gdzie a > 1 jest parametrem rozkładu.

Przykład 0.4.5 (Rozkład wykładniczy).

Xe ^Xx dla x>0 0 poza tym

gdzie X > 0 jest parametrem rozkładu.

Przykład 0.4.6 (Rozkład standardowy normalny) gdzie x € R. (Dowód, że jest to gęstość na wykładzie)

Bardziej uniwersalnym niż gęstość probabilistycznym opisem zmiennych losowych jest dystrybuanta. Definicja 0.4.4 Dystrybuantą zmiennej losowej X , nazywamy funkcję F_x(x) = P(X < x) dła x € R.

Dystrybuanta ma następujące własności:

1.    Fx jest niemałej ąca

2.    F_x(x) -* 1, gdy x —* oo

3.    F_x(x) -> 0, gdy x -► -oo

4.    Fx jest prawostronnie ciągła

Uwaga 0.4.3 Gdy zmienna losowa X ma gęstość fx,to Fx(x) = fx(y)dy.

Przykład 0.4.7 (Dystrybuanta Pareto). Gęstość Pareto f(x) = (a - l)x~°I[_lt0O)(x). Wyliczamy :

F(x) = ( l-x-<^a-»)I_lhoo)(x)

Uwaga 0.4.4 Szansa, że wartości zmiennej losowej X zawarte będę w przedziale [a, 6] , gdzie a < b, można wyrazić przy pomocy dystrybuanty następująco

P(a < X < b) = F(b) - F(a)

Przykład 0.4.8 (Dystrybuanta wykładnicza). Ponieważ gęstość f(x) = Ae^-AlI[o_i00)(x), otrzymujemy F(x) = (1 - e-^Xx)I_[0tOo)(x).

11