672581047

Definicja 0.5.5 Dla zmiennej X o wartościach {0,1,2,...} funkcję 1x(z) = E{z^x) = J2 z^lp(i)

i=0

dla z € [0,1] nazywamy funkcję tworzącą.

Związek tej funkcji z momentami jest następujący ₇f(*) = E(X(X-l)...pC-* + l)) dla k e N.

Przykład 0.5.14 Mediana rozkładu. Właściciel bufetu sprzedaje kawę. Dzienny popyt na kawę określony jest przez zmienną X o gęstości f. Właściciel płaci c zł za litr kawy, otrzymuje b zł (b> c) i jeśli zabraknie mu kawy traci a zł na każdym brakującym litrze. Ile kawy powinien on kupić, aby zmaksymalizować (w sensie wartości średniej) swój zysk. Odp.: należy kupić v litrów kawy, gdzie v jest takie, że P(X > v) = Gdy a = b = c = 1 wartość tą nazywamy medianą rozkładu zmiennej X.

Definicja 0.5.6 Niech X będzie taka, ze E\X\ < oo. Medianą rozkładu zmiennej X jest liczba v, taka,

E\X-c\ > E\X-v\ dla wszystkich c G R.

Własności wartości oczekiwanej

1.    E(aX + b) = aEX + b, dla a, b € R

2.    E(X + Y) = EX + EY

3.    X>Y => EX> EY

4.    Jeśli X\,...,X_n są niezależne, to E(Xi...X„) = EX\...EX_n

5.    Jeśli Xi,...,X„ są niezależne, to E(gi(Xi)...g„(X_n)) = Eg(X\)...Eg_n{X_n), dla dowolnych funkcji 9l,-,9n-

6.    Jeśli X\,..., X_n są niezależne, to <pxi+...x„(t) = ^<Px_i(^)i dla funkcji tworzących momenty Przykład 0.5.15 Warunek E(XY) = EXEY nie implikuje niezależności X i Y.

X\Y	-1	0	1	px
1	0	1/4	0	1/4
0	1/4	1/4	1/4	3/4
py	1/4	1/2	1/4

wtedy EXY = 0 oraz EXY = EXEY, ale X, Y nie są niezależne.

Funkcje tworzące wyznaczają jednoznacznie rozkłady zmiennych losowych:

Jeśli = <py(t)^e E, to Fy = Fy-

Jeśli 7x(z) = yy{z),z € (0,1), to p_x(i) = py(i),i e Z+.

20