3582316693

POCHODNE FUNKCJI

Narzędzie służące do badania przebiegu zmienności wartości funkcji, określonej na pewnym przedziale o wartościach rzeczywistych, przy zmianie jej argumentów. Z punktu widzenia analizy funkcjonalnej, pochodna jest operatorem liniowym. Pojęcie pochodnej było uogólniane, na przykład na przestrzenie unormowane. Proces odnajdywania pochodnej nazywamy różniczkowaniem, a dziad matematyki zajmujący się pochodnymi, ich własnościami i zastosowaniami rachunkiem różniczkowym.

Definicja

Niech V C Mbędzie przedziałem otwartym i funkcja /^: &    *

Jeśli dla pewnego ^:f"o E £¹ istnieje skończona granica ilorazu różnicowego

lim ^/(r) ~ ^/(*»> = lim +

x — r₀    h-+o    h

to mówimy, że /jest różniczkowalna w punkcie ^:f'o. Z kolei punkt o - & nazywamy punktem różniczkowalnosci funkcji J.

Wartość powyższej granicy nazywamy pochodną funkcji I w punkcie ^:co i oznaczamy symbolem f (•* o). Czasem używa się też symboli:

f'_x(x o), Df(x o), D_xf(xo)

Stosowane są również inne oznaczenia.

Przykład

Niech ⁿ ^ -W oparciu o definicję wyznaczymy pochodną funkcji potęgowej ./ U^: ) ⁼ x w dowolnym punkcie x M.

/(ar) = lim

k—o

= lim

fc— o

(x + h)ⁿ — xⁿ Ti ⁼

xⁿ + (")ar^n_łft + (”)a;ⁿ~²h² +    + ... 4- hⁿ - xⁿ _

= lim ( nxⁿ 1 +

h—*0

n

.2

3

nx

„n—1

Z punktu widzenia geometrii, różniczkowalność /w punkcie tC oznacza istnienie stycznej do wykresu

/i