672581049

Współczynniki wielomianowe. Z n & N elementów można wybrać m podzbiorów o liczebnosciach ni, «2,..., rim (ni + ■ • • + n_m = n) na

n!

rai! • • • n_m!

sposobów. Zachodzi wzór:

(£1 H-----\-x_m)ⁿ

0.1.3 Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo P jest funkcją przyporządkowującą zdarzeniom liczby takie, że

(i)    Dla A C fi, 0 < P(A) < 1.

(ii)    f(n) = 1.

Dla każdego ciągu {A{} (skończonego lub nieskończonego) zdarzeń rozłącznych

p(UA) = E^p(A).

Uwaga 0.1.1 Nie dla wszystkich zbiorów fi można znaleźć nietrywialną funkcję P o powyższych własnościach, określoną na wszystkich podzbiorach fi na przykład fi := [0,1] oraz P((a, b]) = b —a, 0 < a < 6 < 1 jest naturalną funkcją prawdopodobieństwa na tym zbiorze, jednakże nie można tą funkcją zmierzyć wszystkich podzbiorów fi (istnieją zbiory niemierzalne ). Rozważania ogranicza się wtedy do podklasy mierzalnych zbiorów (zdarzeń), które tworzą a—ciało zdarzeń. W przypadku, gdy fi jest zbiorem przeliczalnym takie trudności nie występują i wtedy wszystkie podzbiory fi są mierzalne.

Własności wynikające z określenia prawdopodobieństwa:

1.    P(A^C) = 1 - P(A)

2.    P(0) = 0

3.    Jeśli A C B, to P(A) < P(B)

4.    P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A D B)

5.    PflJi Ai) < P(Ai)

6. Jeśli Ai C A₂ C ■ ■ ■ i A = Ui A, to P(At) -*i_oo P(A).

7. Jeśli Ai D A₂ D ■ ■ ■ i żł = Di    to P(Ai) -»_ł_₊₀₀ P(A).

4