8377355488

Dana jest seria N danych (np. wyniki pomiarów) x = [x_|V...x_nJ^T i odpowiadająca jej seria N wielkości y = [y, ,....y„]^T. Zadaniem aproksymacji jest znalezienie funkcji f(x) przybliżającej w sposób optymalny zależność pomiędzy x i y. Błędy przybliżenia są sumowane po N pomiarach, otrzymuje się wówczas tzw. odchylenie średniokwadratowe:

ważne jest, aby wartość J była możliwie jak najmniejsza.

Dokonywana jest aproksymacja funkcji y za pomocą wielomianu W(x):

W(x) = a_rx^r + a_r__lx^r_l + ... + a!X + a_(l

Na podstawie posiadanych danych y = f(x)

Xj	X,	*2		Xn
_Ii_	_Ii_	_12_		_IN_

konstruowana są:

■    macierz wartości X o wymiarach N x (r+l);

gdzie N - ilość danych (x,, yj), r - stopień wielomianu przybliżającego W(x);

■    macierz współczynników wielomianu a;

■    wektor wartości y:

x[ x[ ¹ ... 1

xj, x^rN-' ...    1

Iloczyn Xa daje kolumnowy wektor wartości wielomianu W dla poszczególnych danych Xj. Szukany jest taki wektor a, aby Xa było jak najbliższe wektorowi y:

min ^(y ₍ - Xj3)² = min || y — Xa ||

l = i||y-Xa||,

poprzez rozwiązanie równania: a=X\y

minimalizowany jest średniokwadratowy błąd przybliżenia J.

Tę metodę aproksymacji w MATLAB-ie realizuje funkcja polyfit: a = polyfit(x, y, r)    r - stopień wielomianu