8504862404

1.1. Modelowanie ciągłe i dyskretne w mechanice materiałów 3

wanie związku konstytutywnego, charakteryzującego zachowanie się materiału. Konstruowanie ogólnych związków konstytutywnych jest zagadnieniem bardzo złożonym. W tworzeniu modeli konstytutywnych w mechanice kontinuum popularne jest podejście fenomenologiczne. Polega ono na znalezieniu możliwie zwartej formy zapisu zależności zaobserwowanych w eksperymentach przeprowadzanych w skali makroskopowej.

W modelach dyskretnych zachowanie makroskopowe materiału otrzymuje się poprzez przyjęcie odpowiednich modeli oddziaływania między obiektami modelu dyskretnego. Modelowanie na niższym poziomie pozwala na opracowanie modelu konstytutywnego dla poziomu bezpośrednio wyższego. Wykorzystywane jest to w modelowaniu wieloskalowym, w którym opisuje się zachowanie materiałów w wielu skalach. Model konstytutywny materiału w metodzie elementów dyskretnych można traktować jako dyskretny model mikromechaniczny, który zdefiniowany jest przez związki konstytutywne dla oddziaływania kontaktowego między elementami dyskretnymi.

1.1.2 Numeryczne metody rozwiązywania zagadnień ciągłych

Modele matematyczne, opisujące ośrodek ciągły, są najczęściej układami równań całkowych lub różniczkowych cząstkowych. Wynika to stąd, że w ośrodku ciągłym występujące zmienne są zależne od co najmniej jednej zmiennej przestrzennej oraz czasu (jeśli badany obiekt jest zmienny w czasie). Model matematyczny jest uzupełniony odpowiednimi warunkami brzegowymi i początkowymi. W rezultacie otrzymuje się do rozwiązania zagadnienie brzegowe lub brzegowo-początkowe.

Jedynie w prostych zagadnieniach możliwe jest ścisłe rozwiązanie analityczne otrzymanego problemu matematycznego. Najczęściej rozwiązanie wymaga stosowania metod przybliżonych. W praktyce wykorzystuje się najczęściej przybliżone metody numeryczne. W wyniku model matematyczny przybiera postać, którą można nazwać modelem numerycznym danego obiektu.

Metody numeryczne oparte są na pewnej procedurze dyskretyzacyjnej, która transformuje problem ciągły (układ o nieskończonej liczbie stopni swobody) do problemu dyskretnego, w którym mamy do czynienia z układem równań o skończonej liczbie niewiadomych. W zagadnieniach brzegowo-początkowych lub brzegowych dla zagadnienia ciągłego przeprowadza się zwykle najpierw dyskretyzację przestrzenną, prowadzącą do dyskretnego zagadnienia początkowego, które rozwiązuje się, wprowadzając dyskretyzację czasową, umożliwiającą przybliżone całkowanie równań względem czasu.

Do numerycznych metod przybliżonego rozwiązywania ciągłych zagadnień brzegowo-początkowych zaliczamy metodę różnic skończonych - MRS [205], me-