8504862412

10 1. Wstęp

Innym przykładem modelowania numerycznego, wykorzystującego modelowanie dyskretne, jest metoda sztywnych elementów skończonych [153], w której układ ciągły jest zastąpiony układem brył sztywnych połączonych ze sobą nieważkimi elementami sprężystymi i tłumiącymi. Równania opisujące ruch sztywnych elementów skończonych są oparte na równaniach dynamiki ciała sztywnego, dlatego ich postać matematyczna jest podobna do równań stosowanych w metodzie elementów dyskretnych, wykorzystującej elementy o dowolnym kształcie. W metodzie sztywnych elementów skończonych, w sformułowaniu przedstawionym w [153], nie rozpatrywano możliwości oddziaływania kontaktowego między elementami. W założeniu metoda miała służyć idealizacji większych części konstrukcji, których odkształcenia można było zaniedbać. Połączenia za pomocą elementów sprężystych z założenia były trwałe, nie przewidywano możliwości ich zerwania, dlatego metoda sztywnych elementów skończonych nie mogła być stosowana do symulacji odkształceń z nieciągłościami wywołanymi powstawaniem i propagacją szczelin.

1.1.4 Wady i zalety modeli ciągłych i dyskretnych

Każdy z opisywanych modeli i każda z metod ma swoje zalety w modelowaniu wybranych zagadnień, jak również swoje ograniczenia. Standardowe modele ciągłe nie są odpowiednie do zagadnień, w których procesy zachodzą pod wpływem zjawisk występujących w małej skali. W modelowaniu zagadnień w małej skali dynamika molekularna wykorzystująca modele dyskretne jest naturalnym sposobem modelowania.

Duże trudności występują przy stosowaniu modelowania ciągłego w zagadnieniach z nieciągłościami, problemach lokalizacji odkształceń lub mechaniki pękania. Problemy, w których występuje osłabienie materiału, z matematycznego punktu widzenia są źle sformułowane (ang. ill-posed). Konieczne jest stosowanie różnorodnych metod regularyzacji, jak sformułowania nielokalne [227], sformułowania gradientowe [61], model ośrodka Cosserat [278] lub modele lepkoplastyczne [68].

Do rozwiązania problemów z nieciągłościami opracowano specjalne sformułowania metody elementów skończonych, np. [42]. W sformułowaniach uwzględniających silne nieciągłości, standardowa interpolacja, stosowana w metodzie elementów skończonych, jest wzbogacona o specjalne funkcje opisujące nieciągłe pola aproksymo-wanych zmiennych [60, 203]. Mimo dużych możliwości tych metod, do zagadnień z licznymi powierzchniami nieciągłościami, w których następuje rozdzielenie badanego obszaru ciągłego na wiele oddzielnych podobszarów, lepiej nadają się modele dyskretne, nie wymagające kłopotliwych założeń związanych z ciągłością stosowanych funkcji w obszarze opisywanym modelem. Możliwości modelowania dyskretnego są wykorzystywane w metodzie elementów dyskretnych. Metoda ta w naturalny sposób uwzględnia istniejące i powstające pod obciążeniem nieciągłości. Doskonale nadaje