Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
WYKA
AD 2
Elementy teorii weryfikacji hipotez
statystycznych
1
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
Struktura:
1. Podstawowe pojęcia
2. Błąd pierwszego i drugiego rodzaju
3. Testy najmocniejsze
4. Moc testu
5. Zgodność testu
6. Test najmocniejszy Neymana  Pearsona
7. Test jednostajnie najmocniejszy
8. Obcią\
oność testu
9. Funkcja mocy testu
10. Test ilorazu wiarygodności
2
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
1. Podstawowe pojęcia
Hipotezą statystyczną nazywamy ka\
de przypuszczenie dotyczące
nieznanego rozkładu populacji generalnej o prawdziwości
lub fałszywości, którego wnioskuje się na podstawie pobranej próby.
Zbiór hipotez dopuszczalnych &! jest zbiorem mo\
liwych rozkładów,
które mogą charakteryzować badaną populację.
Hipoteza parametryczna to taka, która dotyczy nieznanych wartości
parametrów.
Hipotezy, które nie dotyczą parametrów nazywamy hipotezami
nieparametrycznymi, są one przypuszczeniami dotyczącymi klasy
rozkładów do których nale\
y rozkład populacji.
3
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
1. Podstawowe pojęcia
Hipotezą prostą nazywamy hipotezę statystyczną, która jednoznacznie
określa rozkład populacji.
Ka\
dą hipotezę, która nie jest prosta nazywamy hipotezą zło\
oną.
H : F(x)"�
� �" &!
Ka\
da hipoteza statystyczna ma postać , gdzie .
�
Wówczas jeśli podzbiór składa się z jednego elementu, to badana
�
hipoteza jest hipotezą prostą, jeśli natomiast do podzbioru nale\
y
więcej ni\
jeden rozkład, to mówimy o hipotezie zło\
onej.
4
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
1. Podstawowe pojęcia
Testem statystycznym nazywamy regułę postępowania, która ka\
dej
mo\
liwej realizacji próby przyporządkowuje, z ustalonym
x1,K, xn
prawdopodobieństwem, decyzję przyjęcia lub odrzucenia sprawdzanej
hipotezy.
Test statystyczny w zale\
ności od tego, czy jest weryfikowana hipoteza
parametryczna, czy te\
nieparametryczna nazywamy testem
parametrycznym lub testem nieparametrycznym.
5
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
1. Podstawowe pojęcia
W procesie weryfikacji hipotez na początku ze zbioru hipotez
dopuszczalnych wybiera się jedną hipotezę, która podlega
weryfikacji i nazywa się ją hipotezą zerową:
�0 �" &!
H : F(x)"�0 , .
0
Oprócz weryfikowanej hipotezy wyró\
nia się jeszcze jedną zwaną
hipotezą alternatywną:
�1 �" &!
H1: F(x)"�1 , ,
która jest przeciwstawna hipotezie zerowej i którą jesteśmy
skłonni przyjąć, w przypadku odrzucenia hipotezy zerowej.
6
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
1. Podstawowe pojęcia
Oznaczmy przez W n - wymiarową przestrzeń próby, czyli zbiór
wszystkich mo\
liwych wyników n - elementowej próby,
niech oznacza punkt w tej przestrzeni próby.
Wn = (x1,K, xn )
Konstrukcja testu polega na podzieleniu przestrzeni próby na dwa
rozłączne obszary w oraz W-w.
Wn " w
Jeśli , to sprawdzaną hipotezę odrzucamy, jeśli natomiast
Wn "W - w, to hipotezę zerową przyjmujemy ( ? ) .
Obszar w nazywamy obszarem odrzucenia hipotezy (obszarem
krytycznym), natomiast W-w obszarem przyjęcia hipotezy
zerowej.
7
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
2. Błąd pierwszego i drugiego rodzaju
W wyniku testowania hipotezy statystycznej mo\
emy podjąć poprawną
decyzję lub popełnić jeden z dwóch następujących błędów:
1) mo\
emy odrzucić weryfikowaną hipotezę wtedy, gdy jest ona
H0
w rzeczywistości prawdziwa
P(Wn " w | H0 ) = ą(w)
- błąd I rodzaju;
2) mo\
emy przyjąć weryfikowaną hipotezę H0 jako prawdziwą,
podczas gdy jest ona fałszywa
P(Wn "(W - w)| H1) = �(w)
- błąd II rodzaju.
8
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
2. Błąd pierwszego i drugiego rodzaju
Ilustracja prawdopodobieństwa popełnienia błędów I i II rodzaju przy
testowaniu hipotezy dotyczącej średniej
y
ródło: J. Podgórski: Statystyka dla studiów licencjackich, PWE, 2005
P (błąd II rodzaju) =
P(X < B'm = m ) =�
1
9
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
2. Błąd pierwszego i drugiego rodzaju
Ilustracja prawdopodobieństwa popełnienia błędów I i II rodzaju
przy testowaniu hipotezy dotyczącej średniej
y
ródło: J. Podgórski: Statystyka dla studiów licencjackich, PWE, 2005
P(X < 68,06'm = 70) =0,0606
Przy ą = 0,05 ,
10
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
3. Testy najmocniejsze
Poniewa\
jednoczesna minimalizacja obydwu rodzajów błędów,
przy ustalonej liczebności próby, nie jest mo\
liwa, to ustala się z
góry pewne prawdopodobieństwo błędu I rodzaju na \
ądanym
poziomie ą. Następnie spośród wszystkich obszarów w
spełniających warunek
P(Wn " w | H0 ) = ą
w0
wybieramy taki obszar , dla którego prawdopodobieństwo błędu
II rodzaju jest najmniejsze, tzn.
min P(Wn "(W - w)| H1) = P(Wn "(W - w0 )| H1)
.
w
Tak zbudowane testy nazywamy testami najmocniejszymi.
11
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
4. Moc testu
Mocą testu opartego na obszarze odrzucenia w nazywamy
H0
prawdopodobieństwo odrzucenia sprawdzanej hipotezy
H1
przy zało\
eniu, \
e prawdziwa jest hipoteza alternatywna ,
piszemy
M (w) = P(Wn " w | H1)
Zauwa\
my, \
e
P(Wn "(W - w)| H1) = P(Wn "W | H1)- P(Wn " w | H1) = 1- P(Wn " w | H1)
Zatem
�(w) = 1- M(w)
UWAGA: Testy najmocniejsze nie zawsze istnieją.
12
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
5. Zgodność testu
Test oparty na obszarze odrzucenia w jest zgodny,
jeśli jego moc dą\
y do jedności
lim P(Wn " w | H1) = 1
n"
13
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
6. Test najmocniejszy Neymana  Pearsona
H0
H1
Załó\
my, \
e hipoteza zerowa i alternatywna są hipotezami prostymi.
f (x;�)
Rozwa\
amy populację generalną o rozkładzie zadanym gęstością .
H1 :� = �1
Weryfikujemy hipotezęH :� = �0, wobec hipotezy alternatywnej .
0
Podstawowy lemat Neymana  Pearsona
Test zbudowany na podstawie obszaru odrzucenia w, który spełnia warunki:
n
f (xi ;�1)
"
i=1
e" k
wewnątrz obszaru w,
n
f (xi ;�0 )
"
i=1
n
f (xi;�1)
"
i=1
d" k
na zewnątrz obszaru w,
n
f (xi;�0)
"
i=1
gdzie stała k jest tak dobrana, aby , jest testem
P(Wn " w | H0 ) = ą
najmocniejszym z prawdopodobieństwem błędu pierwszego rodzaju
równym ą.
14
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
Przykład 1
Z populacji o rozkładzie normalnym pobrano
N(m,� )
n - elementową próbę, w celu sprawdzenia hipotezy ,
H0 : m = m0
m1 < m0
wobec hipotezy alternatywnej , przy czym .
H1 : m = m1
Zakładamy, \
e � jest znane.
Chcemy zbudować test najmocniejszy z prawdopodobieństwem błędu
pierwszego rodzaju równym ą.
15
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
Przykład 1
Wyznaczmy lewą stronę nierówności z lematu Neymana  Pearsona:
2 2
n
�ł �ł �ł �ł
1 - (x1 - m1) 1 - (xn - m1)
�ł �ł
exp�ł �"K�" exp�ł
f (xi; m1)
2 2
" �ł �ł �ł �ł
2� 2�
� 2Ą � 2Ą
�ł łł �ł łł
i=1
=
n
2 2
�ł �ł �ł �ł
1 - (x1 - m0) 1 - (xn - m0)
f (xi; m0)
�ł �ł
exp�ł �"K�" exp�ł
"
2 2
�ł �ł �ł �ł
i=1 2� 2�
� 2Ą � 2Ą
�ł łł �ł łł
n
�ł 1
2
exp �ł
�ł-
"(x - m1) �ł
i
2
n n
�ł łł
2�
1 �ł
2 2
�ł i=1 łł
= = exp�ł 2 �ł �łśł
"(x - m0) - "(x - m1) �ł
i i
n
�ł 1
2
�ł i=1 i=1 łł
�ł2� �ł
exp �ł
�ł-
"(x - m0) �ł
i
2
2�
�ł i=1 łł
16
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
Przykład 1
Z lematu wynika, \
e obszar krytyczny w dający test najmocniejszy
Wn = (x1,K, xn )
zawiera te wszystkie punkty przestrzeni próby,
dla których powy\
sze wyra\
enie jest słabo większe od k. Zatem
n n
�ł łł
1 �ł
2 2
exp�ł 2 �ł �łśł
"(x - m0) -"(x - m1) �ł e" k
i i
�ł i=1 i=1 łł
�ł2� �ł
n n
�ł łł
1 �ł
2 2
�łśł
"(x - m0) -"(x - m1) �ł e" ln k
�ł2� �ł i i
2
�ł i=1 i=1 łł
�ł �ł
n n
2 2 2 2
xi2 + nm0 - 2m0nx -
" "x - nm1 + 2m1nx e" 2� ln k
i
i=1 i=1
2 2 2
- n(m1 - m0 )+ 2nx(m1 - m0)e" 2� ln k
2 2 2
2� ln k + n(m1 - m0 )
x d" = K(k)
17
2n(m1 - m0)
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
Przykład 1
Poniewa\
zało\
yliśmy, \
e prawdopodobieństwo błędu I rodzaju jest
równe ą, to liczbę K dobieramy tak, aby .
P(x d" K | H0) = ą
Przy zało\
eniu, \
e hipoteza jest prawdziwa zmienna
H0 : m = m0
X - m0
� n
ma rozkład .
N(0,1)
�ł
Stąd
X - m0 K - m0 �ł
�ł
P�ł d" = ą
�ł �ł
� n � n
�ł łł
K - m0
N(0,1) 2
K =
Z tablic rozkładu normalnego odczytujemy liczbę
� n
X - m0
Jeśli ,
2
d" K
� n
to hipotezę zerową odrzucamy, w przeciwnym razie hipotezę
tą przyjmujemy.
18
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
Przykład 1
UWAGA: Tak zbudowany test gwarantuje przy prawdopodobieństwie
błędu I rodzaju równym ą, mo\
liwie największą moc, czyli mo\
liwie
najmniejsze prawdopodobieństwo błędu II rodzaju.
X - m0
UWAGA: Otrzymany obszar krytyczny 2
d" K
� n
m1 < m0
jest niezale\
ny od hipotezy alternatywnej, jeśli tylko .
19
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
Wniosek
N(m,� )
Jeśli populacja generalna ma rozkład normalny ze znanym
odchyleniem standardowym �, to obszarem odrzucenia dającym
H0 : m = m0
test najmocniejszy dla hipotezy zerowej wobec
hipotezy alternatywnej:
x - m0
2 2
d" K K
1) , jest obszar , gdzie
m1 < m0
H1 : m = m1
� n
jest tak dobrane, aby
�ł �ł
x - m0
�ł
2 �ł
P�ł d" K = ą
�ł
� n
�ł łł
x - m0
2
K
m1 > m0 , gdzie
2) , jest obszar 2
e" K
H1 : m = m1
� n
jest tak dobrane aby
�ł �ł
x - m0
�ł �ł
2 �ł
P�ł e" K = ą
� n
�ł łł
20
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
7. Test jednostajnie najmocniejszy
Rozwa\
amy tak, jak poprzednio populację generalną o funkcji gęstości
. Załó\
my teraz, \
e weryfikujemy prostą hipotezę zerową
f (x;�)
wobec zło\
onej hipotezy alternatywnej ,
H0 :� = �0 H1 :� "�
.
� �" &!
Testem jednostajnie najmocniejszym względem zbioru
�
nazywamy taki test najmocniejszy dla hipotezy zerowej ,
H0 :� = �0
który jest identyczny dla wszystkich mo\
liwych prostych hipotez
�
alternatywnych ze zbioru .
�
UWAGA: Test jednostajnie najmocniejszy nie zawsze istnieje.
21
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
Przykład 2
W przykładzie pierwszym zbudowaliśmy test najmocniejszy dla
hipotezy , wobec prostej hipotezy alternatywnej
H0 : m = m0
H1 : m = m1 i otrzymaliśmy, \
e otrzymany obszar krytyczny
m1 < m0
jest niezale\
ny od hipotezy alternatywnej, jeśli tylko .
Zatem otrzymany test jest testem jednostajnie najmocniejszym
H0 : m = m0
dla hipotezy wobec hipotezy alternatywnej
H1 : m"� , gdzie zbiór jest wyznaczony przez relację
�
m < m0
.
22
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
8. Obcią\
oność testu
f (x;�)
Załó\
my, \
e rozwa\
amy populację generalną o funkcji gęstości
Weryfikujemy prostą hipotezę zerową H0 :� = �0 , wobec zło\
onej
hipotezy alternatywnej . Załó\
my ponadto, \
e został
H1 :� `" �0
zbudowany jakiś test z obszarem odrzucenia w.
Mówimy, \
e ten test jest obcią\
ony, jeśli istnieje taka wartość
�1 `" �0
�1
parametru , , dla której zachodzi następująca
nierówność
P(Wn " w | � = �1) < P(Wn " w | � = �0 )
23
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
9. Funkcja mocy testu
Funkcja mocy testu opartego na obszarze odrzucenia w
H0 :� = �0
Weryfikując prostą hipotezę wobec zło\
onej hipotezy
�1 "�
H1 :� "�
alternatywnej mo\
na dla ka\
dego
wyznaczyć moc rozpatrywanego testu:
M (�1) = P(Wn " w | � = �1)
UWAGA: Jeśli zbiór wartości, na których określona jest funkcja
� = �0
mocy rozszerzymy na punkt , to otrzymamy
P(Wn " w |� = �0)= ą
24
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
10. Test ilorazu wiarygodności
Test ilorazu wiarygodności stosujemy głównie w przypadku
sprawdzania hipotez zło\
onych, jak równie\
hipotez prostych,
gdy nie istnieje test nieobcią\
ony jednostajnie najmocniejszy.
Rozwa\
amy populację generalną o rozkładzie zadanym funkcją
f (x;�)
gęstości . Na podstawie n  elementowej próby pobranej
z tej populacji chcemy zweryfikować hipotezę
H0 :� = �0,
H1 :� "�
wobec hipotezy alternatywnej , gdzie jest zbiorem
�
mo\
liwych alternatywnych wartości parametru .
�
25
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
10. Test ilorazu wiarygodności
Określmy funkcję wiarygodności
n
L(� ) = f (x1;� )f (x2;� )K f (xn ;� ) = f (xi ;� )
"
i=1
H0 :� = �0
Przy zało\
eniu prawdziwości hipotezy zerowej , mamy
n
L(�0 ) = f (xi ;�0 )
"
i=1
�Ć
Estymatorem MNW parametru będzie taka wartość parametru ,
� �
dla której
max L(� ) = L(�Ć)
,
�"&!
gdzie &! oznacza zbiór wszystkich mo\
liwych wartości parametru .
�
26
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
10. Test ilorazu wiarygodności
Niech
L(�0 ) L(�0 )
 = =
max L(� )
L(�Ć)
�"&!
X1,K, X
Poniewa\
 jest funkcją próby losowej , to jest zmienną
n
H0 :� = �0
losową. Zatem jako obszar odrzucenia hipotezy ,
wobec hipotezy alternatywnej przyjmujemy obszar
H1 :� "�
 d" k
zadany nierównością .
Przy przyjętym prawdopodobieństwie błędu I rodzaju ą, stałą k
wyznaczamy tak, aby spełniony był warunek
P( d" k | H0 ) = ą
27
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
Przykład 3
N(m,� )
Z populacji o rozkładzie normalnym pobrano
n - elementową próbę, w celu sprawdzenia hipotezy ,
H0 : m = m0
wobec hipotezy alternatywnej ,
H1 : m = m1
- " < m1 < +".
Zakładamy, \
e � jest znane.
Wówczas funkcja wiarygodności dana jest wzorem
2 2
�ł �ł �ł �ł
1 -(x1 - m)
�ł�"K�" 1 exp�ł -(xn -2m) �ł
L(m)= exp�ł
2
�ł �ł �ł �ł
2� 2�
� 2Ą � 2Ą
�ł łł �ł łł
n
n
�ł 1 �ł �ł 1
2
= exp�ł- �ł
�ł �ł
"(x - m) �ł ,
i
2
2�
� 2Ą
�ł łł �ł i=1 łł
- " < m < +" .
28
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
Przykład 3
Przy zało\
eniu, \
e hipoteza jest prawdziwa:
H0 : m = m0
n
n
�ł 1 �ł �ł 1
2
L(m0) = exp �ł
�ł �ł �ł-
"(x - m0) �ł
i
2
2�
� 2Ą
�ł łł �ł i=1 łł
n
n
�ł 1 �ł �ł 1 1
2 2
== exp�ł-
�ł �ł
"(x - x) - 2� n(x - m0) łł
i
2 2 śł
2�
� 2Ą
�ł łł �ł i=1 �ł
Estymatorem MNW parametru m jest , zatem
Ć
m = x
n
n
�ł 1 �ł �ł 1
2
Ć
L(m) = exp �ł
�ł �ł �ł-
"(x - x) �ł
i
2
2�
� 2Ą
�ł łł �ł i=1 łł
29
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
Przykład 3
Wyznaczmy
n n
L(m0 ) �ł 1 1 1
2 2 2
 = = exp�ł-
"(x - x) - 2� n(x - m0) + 2� "(x - x) łł
i i
2 2 2 śł
Ć
L(m) 2�
�ł i=1 i=1 �ł
n
łł
2
= exp�ł- (x - m0)
2
�ł śł
2�
�ł �ł
H0
H1
Obszar odrzucenia wobec określony jest nierównością .
 d" k
Stąd
n
łł
2
exp�ł- (x - m0) d" k
2
�ł śł
2�
�ł �ł
n
2
- (x - m0) d" ln k
2
2�
2
�ł
x - m0 �ł
�ł �ł
e" -2ln k
�ł �ł
� n
�ł łł
30
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
Przykład 3
2
- 2ln k = K (k)
Jeśli przyjmiemy , to otrzymujemy obszar
odrzucenia
x - m0
e" K
� n
H0 : m = m0
Przy zało\
eniu, \
e hipoteza jest prawdziwa zmienna
X - m0
N(0,1)
ma rozkład .
� n
N(0,1)
Stąd z tablic rozkładu normalnego odczytujemy liczbę K
taką, \
e
�ł �ł
x - m0
�ł
P�ł e" K = ą
�ł �ł
� n
�ł łł
31
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
10. Test ilorazu wiarygodności
W przypadku du\
ych prób, gdy znalezienie dokładnego rozkładu
zmiennej  jest trudne, korzystamy z tego, ze zmienna losowa
- 2ln 
ma asymptotyczny rozkład chi  kwadrat z jednym
stopniem swobody.
Wówczas obszar odrzucenia wyznaczony jest następującą
nierównością
2
- 2ln  > �ą ,
2
�ą
gdzie jest tak dobrane, aby przy ustalonym
prawdopodobieństwie błędu I rodzaju ą, zachodziła relacja
2
P(- 2ln  > �ą )= ą
.
32
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
10. Test ilorazu wiarygodności
UWAGA: Jeśli przez w oznaczymy obszar wyznaczony przez
2
- 2ln  > �ą
punkty przestrzeni próby, dla których ,
2
przy czym , to dla punktu n
W
P(- 2ln  > �ą )= ą
w n  elementowej przestrzeni próby mamy
lim P(Wn " w | H1) = 1
n"
Zatem tak zbudowane testy są zgodne, tzn. ich moc dą\
y
do jedności.
33
Metody statystyczne I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych ISiD SGH
Zespół realizujący: dr hab. prof. SGH, Ewa Frątczak,
dr Dorota Bartosińska, dr Wioletta Grzenda, dr Aneta Ptak-Chmielewska
DZI
KUJ
ZA UWAG
!
34