MASZYNA SYNCHRONICZNA JAWNOBIEGUNOWA:
Równania wyjściowe stojana (3-fazowe) i wirnika są identyczne jak w maszynie cylindrycznej:
d[È]
[u]= [R] [i]+
dt
dÈ
f
u = Rf if +
f
dt
Jeśli uwzględnimy istnienie klatki rozruchowo-tłumiącej (lub chcemy uwzględnić
działanie tłumiące nieblachowanego rdzenia wirnika) to do powyższych równań należy dopisać
równania klatki jako sprowadzone do dwufazowego uzwojenie umieszczone w osiach d i q, przy
czym są to uzwojenia zwarte (napięcie zasilające jest równe 0) Umiejscowienie osi dq w
maszynie jawnobiegunowej jest wyznaczone w sposób naturalny poprzez wymuszenie
strumienia magnesującego (wytworzonego przez prąd wzbudzenia) w osi podłużnej d, pod
kątem prostym do tej osi występuje oś poprzeczna q:
dÈQ
dÈ
D
0 = RDiD + 0 = RQiQ +
dt dt
Poszczególne strumienie sprowadza się zwykle do iloczynu indukcyjności własnych
obwodu oraz indukcyjności wzajemnych i odpowiadających im składników prądów istniejących
w modelu.
Strumień skojarzony z uzwojeniem stojana ma takie same składniki jak w maszynie
cylindrycznej. Z uwagi na fakt, iż grubość szczeliny powietrznej o osi d jest mniejsza niż w osi
q należy zaznaczyć, że indukcyjność własna każdego z uzwojeń stojana jest zależna od kąta
obrotu wirnika. Przy ustawieniu wirnika tak, aby oś d pokrywała się z uzwojeniem A
indukcyjność własna tego uzwojenia jest wówczas maksymalna. Jeśli pokrywają się oś q i oś
fazy A  indukcyjność tego obwodu jest najmniejsza.
Zależność indukcyjności własnej można przedstawić w postaci szeregu:
LA = LÃ + m0 + m2 cos2Å‚ + m4 cos4Å‚ + ...
Przy czym z dużą dokładnością można ograniczyć się do:
LA = LÃs + m0 + m2 cos 2Å‚
-1-
Podobnie wygląda przebieg zależności indukcyjności wzajemnych w obrębie stojana:
M = m0 + m2 cos2(Å‚ - 30°)
AB
Przy czym możemy rozdzielić indukcyjności własne na część związaną ze strumieniem
rozproszenia i część związaną ze strumieniem w szczelinie powietrznej, wówczas możemy
oznaczyć podobnie jak w maszynie cylindrycznej:
[È]= ([LÃ ]+[Mss ])[i]+[Msf ]if +[MsD]iD +[MsQ]iQ
:
Macierz indukcyjności związanych ze strumieniem rozproszenia uzwojeń stojana jest
diagonalna:
1 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
[LÃs ] = LÃs ïÅ‚0 1 0śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚0 0 1ûÅ‚
Indukcyjności własne wzajemne pomiędzy uzwojeniami stojana są maszynie
jawnobiegunowej funkcjami kÄ…ta Å‚:
m0 m0
îÅ‚
m0 + m2 cos 2Å‚ - + m2 cos(2Å‚ -120°) - + m2 cos(2Å‚ - 240°)Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
2 2
ïÅ‚ śł
m0 m0
ïÅ‚- + m2 cos(2Å‚ -120°) m0 + m2 cos(2Å‚ - 240°)
śł
[M ] = - + m2 cos 2Å‚
ss
2 2
ïÅ‚ śł
m0 m0
ïÅ‚ śł
m0 + m2 (2Å‚ -120°)
ïÅ‚- + m2 cos(2Å‚ - 240°) - + m2 cos 2Å‚ śł
2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
-2-
Indukcyjności wzajemne stojan-wirnik są także funkcjami kąta ł:
cosł
îÅ‚ Å‚Å‚
[M ] = Lf ïÅ‚cos(120° - Å‚ )śł
sf
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
- śł
ðÅ‚cos(240° Å‚ )ûÅ‚
cosł
îÅ‚ Å‚Å‚
[MsD ] = LD ïÅ‚cos(120° -Å‚ )śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
-Å‚
ðÅ‚cos(240° )ûÅ‚
sinł
îÅ‚ Å‚Å‚
[MsQ] = LQ ïÅ‚sin(120° -Å‚ )śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
-Å‚
ðÅ‚sin(240° )ûÅ‚
W przypadku maszyn synchronicznych, szczególnie jawnobiegunowej, warto dokonywać
transformacji od razu z układu trójfazowego do układu dwufazowego wirującego z prędkością
wirowania wirnika. Jest to równoznaczne z zastosowaniem transformacji w postaci:
1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
1 - -
ïÅ‚ śł
2 2
cosł sinł 0
îÅ‚ Å‚Å‚ïÅ‚
śł
2 3 3
ïÅ‚
śł
[P]=
ïÅ‚- sinÅ‚ cosÅ‚ 0śłïÅ‚ 0 2 -
śłïÅ‚
3 2 śł
ïÅ‚ śł
0 0 1ûÅ‚ïÅ‚ 1 1
1 śł
ðÅ‚
ïÅ‚ śł
2 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚cosÅ‚ cos(Å‚ -120°) cos(Å‚ - 240°)śł
2
ïÅ‚sinÅ‚ sin(Å‚ -120°) sin(Å‚ - 240°)śł
[P]=
ïÅ‚ śł
3
1 1 1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
2 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
Po przekształceniu tych macierzy do układu współrzędnych dq otrzymamy:
-3-
Ld 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
[MÄ…² ] = 0 Lq 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 LÃs ûÅ‚
ðÅ‚
gdzie:
3
Ld = lÃs + (m0 + m2)
2
3
Lq = lÃs + (m0 - m2 )
2
Komplet równań dla maszyny jawnobiegunowej z uwzględnieniem uzwojeń rozruchowo-
tłumiących przyjmie zatem postać następującą:
dÈ
d
ud = Rid + + jÉÈq
dt
dÈq
uq = Riq + - jÉÈd
dt
dÈ0
u0 = Rio +
dt
dÈQ
dÈ
D
0 = RDiD + 0 = RQiQ +
dt dt
Èd = Ldid + Mlf if + MlDiD
Èq = Lqiq + MlQiQ
-4-
È0 = L0io
3
È = Lf if + M iD + Mlf id
f fD
2
3
È = LDiD + M if + MlDid
D fD
2
3
ÈQ = LQiQ + MlQiq
2
Dla stanie ustalonym, gdy prędkość obrotowa wirnika jest równa prędkości wirowania
pola magnetycznego (wypadkowego) w uzwojeniu rozruchowo-tłumiącym nie płyną prądy,
wartości prądów i napięć w osiach d i q przyjmują wartości stałe, składowa zerowa przyjmuje
wartość zerową, stąd:
Èd = Ldid + Mlf if
Èq = Lqiq
dif
did
ud = Rid + Ld + Mlf + jÉLqiq
dt dt
diq
uq = Riq + Lq - jÉLdid - jÉMlf if
dt
W układzie dq prądy w stanie ustalonym mają wartości stałe, stąd:
ud = Rid + jÉLqiq
uq = Riq - jÉLdid - jÉMlf if
-5-
ud = Rid + jÉLqiq
ud + juq = R(id + jiq ) + jÉLqiq +ÉLdid +ÉMlf if
u = Ri + jÉLqiq +ÉLdid + e
Po wymnożeniu obu stron przez:
jÉ1
e
Otrzymamy równanie opisujące maszynę jawnobiegunową w układzie stacjonarnym.
Przyjmując, że napięcie na zaciskach maszyny, prąd oraz siła elektromotoryczna są przebiegami
sinusoidalnymi otrzymamy równanie stanu ustalonego w postaci:
U = RI + jXq I + jXd I + E
q d
U = RI + jXq I + j(X - Xq )I + E
d d
Maszyny synchroniczne zwykle pracują jako generatory, stąd wygodniej jest analizować
maszynÄ™ synchronicznÄ… podstawiajÄ…c:
I = -I
t
Otrzymamy:
E = RI + jXq I + j(Xd - X )I +U
t t q dt
-6-