Ć w i c z e n i e 6
WYZNACZANIE PRDKOÅšCI DyWIKU W POWIE-
TRZU METOD FALI STOJCEJ
6.1 Opis teoretyczny
W ośrodkach sprężystych wytrącenie pewnego obszaru z położenia równowagi powoduje drgania
wokół tego położenia. W najprostszym przypadku drgania harmonicznego, wychylenie z położe-
nia równowagi zmienia siÄ™ w czasie cosinusoidalnie z czÄ™stotliwoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… É :
A(t) = A0 cos Ét
2 Ä„
gdzie: A0 amplituda drgań, czyli największe wychylenie , T okres drgań (niezależny
É =
T
od stopnia złożoności drgania).
Wskutek sprężystości ośrodka zaburzenie to przenosi się do coraz dalszych obszarów z prędko-
ścią V zależną od właściwości danego ośrodka. Zjawisko to nazywamy falą mechaniczną.
x0
W punkcie oddalonym od zródła zaburzenia o x0 drgania pojawiają się z opóznieniem t0 = (np.
V
na jeziorze w chwili t = 0 rzuciliśmy kamień na odległość x0 od brzegu. Fala pojawi się przy brzegu
dopiero po czasie t0 tzn. w chwili t = t0). Drganie w tym punkcie opisuje więc równanie:
x0
ëÅ‚ öÅ‚
A(x0 , t) = A0 cos É (t - t0 ) = A0 cos É t - ÷Å‚
(6.1)
ìÅ‚
V
íÅ‚ Å‚Å‚
Zapisujemy A(x0 , t) aby zaznaczyć, że wychylenie A dotyczy konkretnego punktu x0 .Ogólnie
możemy zapisać dla wszystkich punktów x drgającego ośrodka:
x
ëÅ‚ öÅ‚
A(x , t) = A0 cos É t - (6.2)
ìÅ‚ ÷Å‚
V
íÅ‚ Å‚Å‚
Równanie to opisuje falę rozchodzącą się w kierunku dodatniej osi x. W przypadku rozchodzenia
się fali w kierunku przeciwnym, należy x zastąpić przez x i wówczas:
x
ëÅ‚ öÅ‚
A(x , t) = A0 cos É t + (6.3)
ìÅ‚ ÷Å‚
V
íÅ‚ Å‚Å‚
Długością fali nazywamy najmniejszą odległość między punktami drgającymi w jednakowych
fazach. Jest ona równa drodze jaką określona faza przebędzie z prędkością V w czasie T:
= V T
stÄ…d
V = f (6.4)
1
gdzie f = - częstotliwość propagujących się drgań.
T
Jest to wzór słuszny dla każdego typu fali.
Powierzchnię utworzoną przez punkty, do których doszło w danej chwili zaburzenie nazywamy
czołem fali. Fale mogą więc być płaskie (w przypadku gdy fala rozchodzi się w jednym kierunku),
kuliste (gdy zródło wysyła energię drgania tak samo we wszystkich kierunkach) oraz inne w przy-
padkach pośrednich.
W zależności od kierunku drgań cząsteczek ośrodka względem kierunku rozchodzenia się fali, fale
mogą być podłużne cząstki drgają równolegle, lub poprzeczne - cząstki drgają prostopadle do
kierunku propagacji (czyli rozchodzenia się) fali. Fale poprzeczne powstają w ośrodkach charakte-
ryzujących się sprężystością postaci (sztywnością). Dla występowania fal podłużnych wystarczają-
cy jest warunek sprężystości objętości. W cieczach i gazach mogą rozchodzić się tylko fale podłuż-
ne. W ciałach stałych mogą występować również fale poprzeczne. Dzwięk (fala akustyczna) to fala
podłużna, czyli rozchodzące się rozrzedzenia i zagęszczenia powietrza. Zmiana ciśnienia "p ma
również charakter harmoniczny. Falę akustyczną można więc traktować jak falę przemieszczeń (o
amplitudzie A0) lub jak falÄ™ zmian ciÅ›nieÅ„ o amplitudzie p0 = Á É V A0 (gdzie Á gÄ™stość gazu) :
x
ëÅ‚ öÅ‚
"p(x , t) = p0 sin É t - (6.5)
ìÅ‚ ÷Å‚
V
íÅ‚ Å‚Å‚
Ponieważ przemieszczenia przesunięte są w stosunku do ciśnień o 90o, maksymalnemu ciśnieniu
odpowiada zerowe przemieszczenie i odwrotnie maksymalnemu przemieszczeniu zerowe ciśnie-
nie. Dlatego we wzorze tym występuje sinus zamiast cosinusa.
Metoda pomiaru prędkości dzwięku w niniejszym ćwiczeniu polega na wytworzeniu w słupie po-
wietrza (rurze) fali stojącej. Powstaje ona w wyniku interferencji (nałożenia się) dwóch identycz-
nych fal, ale rozchodzących się w przeciwnych kierunkach i o przesuniętych względem siebie fa-
zach o kąt Ą . W określonym punkcie x rury wychylenie cząsteczek gazu od położenia równowagi
można określić z równania:
x îÅ‚ x Å‚Å‚ x x
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
A(x , t) = A0 cos É t - ÷Å‚ ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚
+ A0 cos t + + Ąśł = A0 cos É t - ÷Å‚ - A0 cos É t +
ìÅ‚
ïÅ‚É ìÅ‚ V ÷Å‚
V V V
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
(6.6)
Po jego przekształceniu otrzymujemy:
2 Ä„ x 2 Ä„ t
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
A(x , t) = 2A0 sin sin (6.7)
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
T
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 Ä„ t
ëÅ‚ öÅ‚
Czynnik sin wskazuje na to, że cząsteczka gazu w punkcie x drga z częstotliwością spo-
ìÅ‚ ÷Å‚
T
íÅ‚ Å‚Å‚
tykających się fal. Ich amplituda zależy od punktu x i określona jest przez czynnik
2 Ä„ x
ëÅ‚ öÅ‚
2A0 sin . Taki stan gazu w rurze nazywamy falą stojącą. W stanie tym można wyróżnić
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
takie płaszczyzny prostopadłe do osi rury, w których cząsteczki mają zerową amplitudę drgań (są to
tzw. węzły fali stojącej) oraz płaszczyzny, w których amplituda drgań jest równa 2 A0 (są to tzw.
strzałki). Mierząc ciśnienie w tych płaszczyznach otrzymalibyśmy odpowiednio maksymalne i mi-
nimalne ciśnienie. Falę stojącą jest łatwo otrzymać poprzez nałożenie danej fali na jej odbicie, gdyż
fala odbijając się (np. od gładkiej ścianki) oprócz kierunku zmienia fazę drgań na przeciwną (tzn. o
kąt Ą ). W tak wytworzonej sytuacji cały ośrodek (powietrze w rurze) jest pobudzany do drgania
przez dwie specyficzne fale. Udział w drganiu bierze cały ośrodek. Nie ma tu jednak zjawiska roz-
chodzenia się zaburzenia. Nie jest to więc fala w sensie opisanym wyżej, lecz szczególny stan drga-
nia ośrodka.
2 Ä„ xS
ëÅ‚ öÅ‚
Położenie strzałek można wyznaczyć z warunku sin = 1:
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
xS = (2n + 1)
n = 0,1,2,.. (6.8)
n
4
Odległość między kolejnymi strzałkami oblicza się z różnicy sąsiednich położeń:
xS - xS =
n+1 n
2
i równa ona jest połowie długości interferujących ze sobą fal.
Podobnie można wyznaczyć odległość między kolejnymi węzłami, badając warunek
2 Ä„ x
ëÅ‚ öÅ‚
W
sin = 0 :
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
xW = 2n
n = 0,1,2,.. (6.9)
n
4
xW - xW =
n+1 n
2
Z zależności (6.8) i (6.9) łatwo pokazać, że odległość pomiędzy sąsiednimi węzłami i strzałkami
równa jest jednej czwartej długości fali.
6.2 Opis układu pomiarowego
Zestaw do wytwarzania i rejestracji fali stojącej w słupie powietrza przedstawiony jest na rys. 6.1.
Podstawowym jego elementem jest rozsuwana rura (tzw. rura Kunta), zakończona z dwóch stron
denkami. Poprzez małe otworki w denkach z jednej strony na słup powietrza w rurze oddziałuje
membrana głośnika, pobudzana do drgań z generatora akustycznego. Z drugiej strony słup powie-
trza działa na mikrofon, połączony poprzez wzmacniacz z oscyloskopem. Mała ilość otworków jak
i ich rozmiary pozwala przyjąć, że oba końce rury zakończone są nieruchomymi ściankami. Od-
działywania: słup powietrza mikrofon oraz membrana głośnika - słup powietrza odbywa się po-
przez zmianę ciśnienia, które jak pokazano w poprzednim punkcie jest przesunięte w stosunku do
przemieszczeń cząsteczek o 900. Ponieważ końce rury to nieruchome ścianki, fazy fali padającej i
odbitej muszą być takie, aby na nieruchomej ściance zawsze był węzeł (brak przemieszczeń. Za-
chodzi to tylko wtedy, gdy fala padająca i odbita są przesunięte w stosunku do siebie o kąt 1800 . W
przypadku gdy długość rury jest całkowitą wielokrotnością połowy długości fali, zachodzi dodat-
kowo zjawisko rezonansu, w efekcie którego następuje zwiększenie amplitud w miejscu strzałek i
ciśnienia w miejscu węzłów. Zjawisko to łatwo daje się zaobserwować: na mikrofon umieszczony
w węzle fali stojącej działa maksymalne ciśnienie (strzałka ciśnienia) i drgania obserwowane na
oscyloskopie są wówczas największe. Zmieniając długość rury, przy ustalonej częstotliwości drgań
membrany, otrzymujemy kolejne maksyma amplitud drgań obserwowanych na oscyloskopie.
Generator
akustyczny
OSCYLOSKOP
R U R A
Głośnik Mikrofon
Rys.6.1 Schemat układu do pomiaru prędkości dzwięku w powietrzu.
Oznaczając przez l(0) położenie rury dla którego otrzymujemy pierwsze maksimum amplitudy
drgań, a przez l(n) n = 1,2,3,..kolejne następne położenia. Z omówionej teorii powstawania fali sto-
jÄ…cej wynika zwiÄ…zek:
l(n) = l(0) + n n = 1,2,3,..
2
Funkcja l(n) jest funkcją liniową o współczynniku kierunkowym a = i wyrazie wolnym b = l(0).
2
Znając współczynnik nachylenia a , a więc i korzystając ze wzory (6.4) łatwo wyznaczamy
2
prędkość dzwięku:
V = 2 a f (6.10)
Wielkość l(n) odczytujemy na skali centymetrowej umieszczonej na bocznej powierzchni rury.
Częstotliwość f ustala się na generatorze drgań akustycznych.
6.3. Przebieg pomiarów
1. Włączyć generator drgań akustycznych i oscyloskop. Obraz na ekranie oscyloskopu powinien
być ostry.
2. Ustawić częstotliwość drgań generowanych przez generator na wartość z zakresu 1500 2500
Hz.
3. Wysuwając rurę znalezć kolejno po sobie następujące położenia l(n) , dla których amplituda
drgań obserwowanych na oscyloskopie osiąga maksimum.
4. Pomiary powtórzyć dla 3 4 różnych wartości częstotliwości.
6.4. Opracowanie wyników pomiarów.
1. Rezultaty pomiarów przedstawić na wykresie, odkładając na osi odciętych kolejne numery re-
zonansów n (0,1,2,3,...), a na osi rzędnych odpowiadające im położenia rury l(n)
2. Po naniesionych punktach poprowadzić optymalną prostą. Wyznaczyć współczynnik nachylenia
Ãa
prostej a oraz błąd jego wyznaczenia .
3. Obliczyć prędkość dzwięku w powietrzu (wzór 6.10)
4. Punkty 1-3 powtórzyć dla pozostałych częstotliwości.
Ãf
5. Błąd pomiaru częstotliwości związany jest ze stabilizacją pracy generatora.
6. Korzystając z prawa przenoszenia błędów, możemy obliczyć średni błąd kwadratowy wyzna-
czonych prędkości:
2 2
ÃV = (2 a à ) + (2 f à )
f a
6.5. Pytania kontrolne
1. Wyprowadzić równanie fali stojącej.
2. Podać warunek fali stojącej w rurze zamkniętej z jednego końca.
3. Opisać falę akustyczną w powietrzu.
4. Opisać falę akustyczną w ciele stałym.
5. Czy można mówić o spolaryzowanej fali akustycznej w powietrzu oraz w ciele stałym?
6. Wymienić inne metody wyznaczenia prędkości dzwięku.
L i t e r a t u r a
[1] Crawford F.C.: Fale. PWN, Warszawa 1973.
[2] Massalski J.M.: Fizyka dla inżynierów, cz.2, WNT, Warszawa 1975.
[3] Resnik R., Halliday D.: Fizyka, t.1. PWN, Warszawa 1975.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
LF E CW12cw06?ldy teoriainstrukcja cw06LF E CW31(2)ELEKTRONIKA cw06LF E CW47(1)LF E CW32(2)statystyka cw06LF NEWwięcej podobnych podstron