LISTA 10
Zadanie 1
W grupie 3600 losowo wybranych pasażerów warszawskiego metra 1584 osoby stwierdziły, że metro jest dla nich
jedynym środkiem dojazdu do pracy.
a) Zbudować przedział ufności dla nieznanej frakcji osób, dla których metro jest jedynym środkiem dojazdu do pracy
wśród ogółu pasażerów. Przyjąć współczynnik ufności na poziomie 0.90.
b) Ocenić jak zmieni się precyzja oszacowania, jeśli liczebność próby zmniejszymy do 900 osób.
n =� 3600
m =�1594
a)
1-�a� =� 0,9 czylia� =� 0,1
m m m m
(1-� ) (1-� )
m m
-� ua� n n <� p <� +� ua� n n
n n n n
a�
f�(ua� ) =�1-� =�1-� 0,05 =� 0,95
2
ua� =�1,64
1584 0,44(1-� 0,44) 1584 0,44(1-� 0,44)
-�1,64 <� p <� +�1,64
3600 3600 3600 3600
0,44 -� 0,014 <� p <� 0,44 +� 0,014
0,426 <� p <� 0,454
b)
m m m m
(1-� ) (1-� )
m m
-� ua� n n <� p <� +� ua� n n
n n n n
a�
f�(ua� ) =�1-� =�1-� 0,05 =� 0,95
2
ua� =�1,64
1584 0,44(1-� 0,44) 1584 0,44(1-� 0,44)
-�1,64 <� p <� +�1,64
3600 900 3600 900
0,44 -� 0,027 <� p <� 0,44 +� 0,027
0,413 <� p <� 0,467
Zadanie 2
Z dużej partii słupków betonowych wybrano próbkę losową o liczności 50 sztuk. Średnia wytrzymałość na ściskanie
osiowe obliczona w tej próbie wynosiła 248.31 kg/cm2, odchylenie standardowe zaś 2 kg/cm2.
a) Oszacować średnią wytrzymałość słupków. Zakładając, że badana cecha ma rozkład normalny oszacować wartość
oczekiwaną tej zmiennej za pomocą przedziału ufności na poziomie ufności 0.99.
b) Jaki będzie przedział ufności, jeżeli poziom ufności zmniejszymy do 0.95?
n =� 50
x =� 248,31
d� =� 2
a)
1-�a� =� 0,99 czyli a� =� 0,01
0,01
f�(ua� ) =�1-� =� 0,995 czyli ua� =� 2,58
2
d� d�
x -� ua� <� m <� x +� ua�
n n
2 2
248,31-� 2,58�� <� m <� 248,31+� 2,58��
50 50
247,58 <� m <� 249,04
b)
1-�a� =� 0,95 czyli a� =� 0,05
0,05
f�(ua� ) =�1-� =� 0,975 czyli ua� =�1,96
2
2 2
248,31-�1,96 �� <� m <� 248,31+�1,96 ��
50 50
247,76 <� m <� 248,86
Zadanie 3
Wymiary 6 losowo wybranych detali, wyrażone w mm, kształtowały się następująco: 6,3; 5,9; 6,2; 5,8; 5,7; 6,1.
1. Przyjmując założenie, że rozkład wymiarów ogółu produkowanych detali jest normalny, przy współczynniku
ufności równym 0.90 oszacować nieznane odchylenie standardowe wymiarów ogółu produkowanych detali.
2. Co należałoby uczynić, aby zwiększyć dokładność oszacowania?
n =� 6
1-�a� =� 0,9
a� =� 0,1
-� x)2
��(xi
s2 =�
n
6,3 +� 5,9 +� 6,2 +� 5,8 +� 5,7 +� 6,1
x =� =� 6,5
6
0,025 +� 0,30259 +� 0,0625 +� 0,4225 +� 0,5625 +� 0,1225
s2 =� =� 0,047
6
a�
x2(c1) =� 1-� =� 0,95 =�>�1,145
2
a�
x2(c2) =� =� 0,05 =�>�11,070
2
ns2 2 ns2
<� d� <�
c2 c1
6��0,047 6��0,047
2
<� d� <�
11,070 1,145
2
0,025 <� d� <� 0,246
0,158 <� d� <� 0,496
Zadanie 4
Średnia frekwencja widzów w kinie na seansie filmowym w jednym z kin warszawskich ma rozkład N(*,40). Na
podstawie obserwacji liczby widzów na 25 losowo wybranych seansach kinowych oszacowano przedział liczbowy
(184, 216) dla nieznanej średniej frekwencji na wszystkich seansach.
1. Jaki poziom współczynnika ufności przyjęto przy estymacji?
2. Ile wynosiła średnia liczba widzów w zbadanej próbie 25 seansów kinowych?
N (*,40)
n =� 25
(184,216)
d� d�
x -� ua� <� m <� x +� ua�
n n
d�
184 Ł� x -� ua�
n
Pua� =� x -�184
x -�184 200 -�184
ua� =� =� =� 2
8 8
d�
216 Ł� x -� ua�
n
Pua� =� x -� 216
x -� 216 200 -� 216
ua� =� =� =� -�2
8 8
216 -� x =� x -�184
x =� 200
f�(ua� ) =� 0,977
1-� 0,977 =� 0,023
a�
=� 0,023czylia� =� 0,046
2
Zadanie 5
Poniższy szereg rozdzielczy przedstawia strukturę 1000 losowo wybranych mieszkań na osiedlu Ursynów w
Warszawie według liczby izb.
Liczba izb w mieszkaniu 2 3 4 5 6
Liczba mieszkań 96 288 404 168 44
Oszacowano na podstawie powyższej próby przedział liczbowy dla odsetka lokali 4-izbowych w populacji wszystkich
mieszkań na Ursynowie: (37,4% ; 43.4%).
1. Jaki współczynnik ufności przyjęto przy konstrukcji powyższego przedziału?
2. Jak zmieni się precyzja oszacowania, jeśli przy założeniu niezmienności struktury oraz przy tym samym
współczynniku ufności liczebność próby zmniejszymy do 250 mieszkań?
m =� 404
(37,4%,43,4%)
m m m m
(1-� ) (1-� )
m m
-� ua� n n <� p <� +� ua� n n
n n n n
m 404
=� =� 0,404
n 1000
0,404��0,596
0,404 +� ua� =� 0,434
1000
1,016ua� =� 0,03
ua� =� 1,88
f�ua� =� 0,97
1-� 0,97 =� 0,03
a�
=� 0,03czylia� =� 0,06
2
Zadanie 6
Jaka powinna być minimalna liczebność próby niezbędna do oszacowania odsetka uczniów zamierzających po
maturze kontynuować studia, jeśli w klasie liczącej 40 uczniów 40% z nich nie zamierza kontynuować nauki w
szkolewyższej? Przyjąć współczynnik ufności 0.90 i maksymalny błąd szacunku równy 6%.
m
=� 0,6
n
1-�a� =� 0,9czylia� =� 0,1
d =� 0,06
a�
f�t(ua� ) =� 1-� =� 0,95 =�>�1,64
2
(1,64)2 ��0,4��0,6
n =� =� 179
0,062
Zadanie 7
Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem X . Skonstruować przybliżony przedział ufności dla tego
parametru oparty na próbie o dużej liczności na poziomie ufności 1 - ą.