Ekonometria
dr Adam Sojda
http://main.wsb.chorzow.pl/~asojda
[e-mail]
dr Adam Sojda
LITERATURA:
1. Barczak A. St., Biolik J.: Podstawy ekonometrii.
Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w
Katowicach, Katowice 1998
2. Gruszczyński M., Podgórka M.: Ekonometria.
Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 2000
3. Nowak E.: Zarys metod ekonometrii. Zbiór
zadań. PWN, Warszawa 2002
4. Borkowski B., Dudek H., Szczesny W.:
Ekonometria. Wybrane zagadnienia. PWN
Warszawa 2003
5. Dziechciarz J.: Ekonometria, Metody, przykłady,
zadania. Wydawnictwo AE we Wrocławiu.
2
Wrocław 2003
Ekonometria
dr Adam Sojda
Wstęp
Ekonometria  gr. iokonomia (administracja, gospodarstwo)
metron (mierzenie)
Ekonometria ekonometria bada ilościowe związki zachodzące
pomiędzy zjawiskami ekonomicznymi.
Przedmiotem zainteresowań są trzy grupy zagadnień:
" konstrukcja modelu ekonometrycznego
" estymacja jego parametrów
" szeroko pojęte wnioskowanie na podstawie modelu.
3
Ekonometria
dr Adam Sojda
Model ekonometryczny
Modelem ekonometrycznym nazywamy formalny opis stochastycznej
zależności wyróżnionego zjawiska ekonomicznego (wyróżnionych zjawisk)
od czynników, które je kształtują. Wyrażony w formie pojedynczego
równania bądz
układu równań.
Model ekonometryczny jest to konstrukcja formalna, która za pomocą
jednego równania lub układu równań przedstawia zasadnicze powiązania
ilościowe występujące pomiędzy rozpatrywanymi zjawiskami
ekonomicznymi.
4
Ekonometria
dr Adam Sojda
Model ekonometryczny
Y =�a�o +�a�1X +�e�
np. Y  produkcja żyta w (tys. t), X  powierzchnia uprawy żyta (tys. ha).
Elementami modelu są:
" zmienne objaśniane
" zmienne objaśniające
" składnik losowy
" parametry strukturalne
5
Ekonometria
dr Adam Sojda
Model ekonometryczny
Zmienne objaśniane  wyróżnione zjawiska ekonomiczne, które są opisywane
(wyjaśniane) przez poszczególne równania modelu. Zmienne te noszą też
nazwę zmiennych endogenicznych.
Zmienne objaśniające  zmienne służące do opisu, wyjaśniania zmian
zmiennych objaśnianych. W modelach wielorównaniowych zmienne objaśniające
dzielą się na zmienne egzogeniczne i endogeniczne innych równań.
Zmienne egzogeniczne  zmienne objaśniające, które nie są wyjaśniane przez
żadne równanie modelu
Zmienne endogeniczne innych równań  zmienne, które w danym równaniu
pełnią rolę zmiennych objaśniających i są opisywane przez inne równanie
modelu.
Opóz
nioną zmienną egzogeniczną (endogeniczną) nazywamy zmienną
odnoszącą się do wcześniejszych okresów niż okres bieżący t
Zmienne z góry ustalone  zmienne opóz
nione w czasie wraz ze zmiennymi
egzogenicznymi.
6
Ekonometria
dr Adam Sojda
Model ekonometryczny
Parametry strukturalne modelu, to wartości wyrażające ilościowy wpływ
danej zmiennej (przy której występują) na zmienną endogeniczną, są
szacowane na podstawie danych statystycznych na etapie estymacji modelu.
Składnik losowy w modelu wynika z konieczności uwzględnienia:
1. wpływu wszystkich czynników mało istotnych nie wyspecyfikowanych w
równaniu, ale oddziałujących na zmienną endogeniczną.
2. różnic pomiędzy postacią analityczną modelu, a istniejącą zależnością
w rzeczywistości
3. błędów pomiarów zmiennych
4. czynników losowych, wywierających wpływ na zmienną endogeniczną.
7
Ekonometria
dr Adam Sojda
Model ekonometryczny  klasyfikacja modeli
KRYTERIUM 1. Liczba równań w modelu:
Modele jednorównaniowe
Modele wielorównaniowe
KRYTERIUM 2. Postać analityczna zależności funkcyjnych modelu.
Modele liniowe  wszystkie zależności modelu są liniowe
Modele nieliniowe  chociaż jedna zależność jest nieliniowa
KRYTERIUM 3. Rola czynnika czasu w równaniach modelu.
Modele statyczne  nie uwzględniają czynnika czasu,
Modele dynamiczne  występuje w nich czynnik czasu. Model trendu.
KRYTERIUM 4. Ogólnopoznawcze cechy modelu:
Modele przyczynowo-opisowe  wyrażające związki przyczynowo
skutkowe między zmiennymi objaśniającymi i objaśnianymi.
Modele symptomatyczne  rolę zmiennych objaśniających pełnią zmienne
skorelowane z odpowiednimi zmiennymi objaśnianymi a niewyrażające
z
ródeł zmienności zmiennych objaśnianych.
8
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modelowanie ekonometryczne.
Procedura wieloetapowa, na każdym etapie bardzo często wykorzystująca
metody i narzędzia z innych dyscyplin.
Ekonomia, statystyka opisowa,
Specyfikacja modelu  określenie zmiennych,
analiza matematyczna
postaci analitycznej, z
ródeł danych statystycznych
Statystyka matematyczna,
Estymacja parametrów modelu  oszacowanie
parametrów modelu na podstawie danych
informatyka
statystycznych
Weryfikacja oszacowanego modelu
Ekonomia, statystyka
Formalna  zgodność wyników z procedurą
matematyczna
Merytoryczna  zgodność z wiedzą o badanych
Relacjach ekonomicznych
Ekonomia, zarządzanie
Praktyczne zastosowanie modelu 
prognozowanie, symulacja, opis zależności
9
Ekonometria
dr Adam Sojda
Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny
y =� a�0 +�a�1x1 +�a�2x2 +�K�+�a�k xk +�e�
y - zmienna objaśniana
xi  zmienne objaśniające dla i = 1,2,& ,k
a�i  nieznane parametry strukturalne modelu dla i = 0,1,2,& ,k
e�  składnik losowy
Zakładamy, że istnieją n-elementowe szeregi czasowe
obserwacji na wszystkich zmiennych modelu.
10
Ekonometria
dr Adam Sojda
Dobór zmiennych do modelu
Zmienne w modelu powinny odznaczać się następującymi własnościami:
" mieć odpowiednio wysoką zmienność
" być silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą
" być słabo skorelowane między sobą.
Przypomnieć:
współczynnik zmienność  średnia i odchylenie standardowe
współczynnik korelacji liniowej Pearsona - kowariancja
11
Ekonometria
dr Adam Sojda
Dobór zmiennych do modelu
Procedura doboru zmiennych:
Na podstawie wiedzy merytorycznej sporządza się zestaw potencjalnych zmiennych objaśniających
(zmiennych pierwotnych), którymi są wszystkie najważniejsze wielkości oddziałujące na zmienną
objaśnianą.
X =�{�X1, X2,K�, Xm}�
Zbiera się dane statystyczne będące realizacjami zmiennej objaśnianej i potencjalnych zmiennych
objaśniających
Eliminuje się potencjalne zmienne odznaczające się zbyt niskim poziomem zmienności.
Oblicza się współczynniki korelacji liniowej między wszystkimi rozpatrywanymi zmiennymi.
Pomiędzy poszczególnymi zmiennymi Pomiędzy poszczególnymi zmiennymi
objaśniającymi a zmienną objaśnianą objaśniającymi tworząc macierz korelacji
r1
�� ł� 1 r12 K� r1m
�� ł�
ę� ś�
ę�r
.
1 K� r2m ś�
21
ę� ś�
ę� ś�
R0 =�
R =�
ę� ś�
.
ę� ś�
K� K� K� K�
ę�r ś�
ę�r ś�
�� m �� rm2 K� 1
�� m1 ��
Przeprowadza się redukcję zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających za pomocą wybranej
procedury statystycznej
12
Ekonometria
dr Adam Sojda
Dobór zmiennych do modelu  metoda Hellwiga
Rozpatrujemy wszystkie niepuste kombinacje zmiennych ze zbioru X
Zbiór numerów zmiennych tworzących s-tą kombinację oznaczamy Cs
Dla każdej kombinacji Cs określamy indywidualną pojemność informacyjną
nośnika Xj wchodzącego w jej skład.
rj2
Hs =�
hsj =�
��h
sj
j��Cs
rij
��
i��Cs
Obliczamy integralną pojemność informacyjną s-tej kombinacji
Za najlepszą (optymalną) kombinację nośników informacji uznajemy
podzbiór  kandydatek na zmienne objaśniające, dla którego pojemność
integralna jest największa
Copt : Hopt =� max{�Hs : s =�1,2,K�,2m -�1}�
13
Ekonometria
dr Adam Sojda
Dobór zmiennych do modelu  metoda grafów
Weryfikacja hipotezy o istotności współczynników korelacji pomiędzy zmiennymi objaśniającymi.
H0 : rij =� 0
2
dla
i ą� j
ta� ,n-�2
H1 : rij ą� 0
r*� =�
2
n -� 2 +� ta� ,n-�2
wyznaczamy wartość krytyczną współczynnika korelacji
rij Ł� r*�
są statystycznie nieistotne i zastępujemy je zerami.
Współczynniki, dla których
Budujemy grafy powiązań pomiędzy zmiennymi. Wierzchołkami są zmienne,
natomiast łuki tworzą istotnie różne od zera współczynniki korelacji.
Możemy otrzymać: graf spójny, kilka podgrafów, punkty odosobnione.
Do modelu wybieramy
zmienne odosobnione
dla każdego z grafów zmienną, która ma największą liczbę
powiązań z innymi zmiennymi (jeśli takich zmiennych jest kilka
to taką, która jest najsilniej skorelowana ze zmienną objaśnianą
14
Ekonometria
dr Adam Sojda
Dobór zmiennych do modelu  metoda grafów
Tablica testu t Studenta
a�
0,9 0,8 0,7 0,5 0,3 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01
k
1 0,158 0,325 0,510 1,000 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,656
2 0,142 0,289 0,445 0,816 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925
3 0,137 0,277 0,424 0,765 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841
4 0,134 0,271 0,414 0,741 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604
5 0,132 0,267 0,408 0,727 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032
6 0,131 0,265 0,404 0,718 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707
7 0,130 0,263 0,402 0,711 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499
8 0,130 0,262 0,399 0,706 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355
9 0,129 0,261 0,398 0,703 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250
10 0,129 0,260 0,397 0,700 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169
11 0,129 0,260 0,396 0,697 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106
28 0,127 0,256 0,389 0,683 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763
29 0,127 0,256 0,389 0,683 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756
30 0,127 0,256 0,389 0,683 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750
40 0,126 0,255 0,388 0,681 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704
60 0,126 0,254 0,387 0,679 1,045 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660
15
120 0,126 0,254 0,386 0,677 1,041 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617
Ekonometria
dr Adam Sojda
Dobór zmiennych do modelu  metoda analizy współczynników korelacji
2
ta� ,n-�2
wyznaczamy wartość krytyczną współczynnika korelacji
r*� =�
2
n -� 2 +� ta� ,n-�2
Procedura:
ri Ł� r*
1) Eliminuje się te zmienne objaśniające, dla których zachodzi nierówność
2) Z pozostałych zmiennych jako zmienną objaśniającą wybiera się taką zmienną Xh dla której
rh =� max ri
{� }�
i
3) Ze zbioru zmiennych objaśniających eliminowane są te zmienne, dla których
rhi >� r*
Procedura powtarzana jest do momentu wyczerpania zbioru potencjalnych zmiennych
objaśniających
16
Ekonometria
dr Adam Sojda
Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny
Wektor obserwacji Macierz zaobserwowanych wartości Wektor składników
zmiennej objaśnianej losowych
zmiennych objaśniających
e�1
�� ł�
y1
1 x11 x12 K� x1k
�� ł�
�� ł�
ę� ś�
ę� ś�
ę�
.
.
1 x21 x22 K� x2k ś�
ę� ś� ę� ś�
ę� ś�
y =�
� =�
X =�
ę� ś�
.
ę� ś�
ę� ś� .
K� K� K� K� K�
ę�y ś�
ę� ś� ę� ś�
1 xn1 xn2 K� xnk ��n��(�k+�1)�
�� n ��n��1
��
��e�n ��n��1
Wektor nieznanych
parametrów modelu
yt =�a�0 +�a�1xt1 +�a�2xt 2 +�K�+�a�k xtk +�e�t
a�0
�� ł�
ę�a�1 ś�
ę� ś�
ą =�
ę�. ś�
y =� Xą +� �
.
ę� ś�
ę�a� ś�
k
�� ��(�k+�1)��1
17
Ekonometria
dr Adam Sojda
Estymacja parametrów  Metoda Najmniejszych Kwadratów MNK
Zamierzamy znalez
ć oceny a nieznanych parametrów strukturalnych a� modelu
y =� a�0 +�a�1x1 +�a�2x2 +�K�+�a�k xk +�e�
Wartości zmiennej objaśnianej otrzymane przy ocenach a nazywamy wartościami
teoretycznymi zmiennej objaśnianej dla t=1,2,& ,n
w
t =� a0 +� a1xt1 +� a2xt 2 +�K�+� ak xtk
Resztą dla okresu t nazywamy różnicę pomiędzy wartością empiryczną a
teoretyczną zmiennej objaśnianej
et =� yt -� w
t
18
Ekonometria
dr Adam Sojda
Estymacja parametrów  Metoda Najmniejszych Kwadratów MNK
e1
w
1 �� ł�
�� ł�
Zapis wektorowy:
ę� ś�
ę� ś�
.
.
ę� ś�
ę� ś�
e =�
w
=�
w
=� Xa
ę� ś� ę� ś�
. .
ę�w
ś� ę�e ś�
n
�� �� �� n ��
e =� y -� w
=� y -� Xa
Idea metody najmniejszych kwadratów (MNK) polega na wyznaczeniu takiego wektora
parametrów a, dla którego funkcja S(a)=eTe osiąga minimum
T
S(�a)�=� eTe =� (�y -� Xa)� (�y -� Xa)�=� yTy -� 2aTXTy +� aTXTXa
Otrzymujemy wzór:
-�1
a =�(�XTX)� XTy
19
Ekonometria
dr Adam Sojda
Estymacja parametrów  Metoda Najmniejszych Kwadratów MNK
n
Wariancję odchyleń losowych szacuje się na podstawie wzoru
2
��e
t
eTe
2
t=�1
Se =� =�
n -� k -�1 n -� k -�1
Macierz kowariancji i wariancji ocen parametrów strukturalnych szacuje się na
podstawie wzoru
-�1
2
D2(�a)�=� Se (�XTX)�
W macierzy tej elementy na głównej przekątnej są wariancjami ocen parametrów
strukturalnych. Natomiast pierwiastki z tych wartości są standardowymi błędami szacunków
parametrów strukturalnych.
20
Ekonometria
dr Adam Sojda
Estymacja parametrów  Metoda Najmniejszych Kwadratów MNK
Wartość oceny a informuje o ile jednostek zmieni się zmienna objaśniana Y, jeśli
i
zmienna objaśniająca Xi zmieni się o jednostkę, przy założeniu, że wartości
pozostałych zmiennych objaśniających nie zmienią się.
Pierwiastek kwadratowy z wariancji reszt nazywany jest odchyleniem
standardowym reszt i wskazuje o ile przeciętnie zaobserwowane wartości
różnią się od wartości teoretycznych tej zmiennej wyznaczonych z
modelu inaczej standardowy błąd estymacji.
Standardowe błędy szacunków parametrów strukturalnych informują o ile
jednostek wartość oceny parametru różni się od rzeczywistej wartości
parametru
21
Ekonometria
dr Adam Sojda
Estymacja parametrów  Metoda Najmniejszych Kwadratów MNK
Założenia Klasycznej Metody Najmniejszych Kwadratów
(Z1) Zmienne objaśniające są nielosowe oraz nieskorelowane ze składnikiem losowym
Uchylenie założenia (Z1) powoduje utratę istotnych własności estymatorów
Z(2) Liczebność próby jest większa niż liczba szacowanych parametrów rz(X)=k+1 oraz kZałożenie (Z2) zapewnia, że estymator można wyznaczyć w sposób jednoznaczny
Z(3) wartości oczekiwane składników losowych są równe zeru
Założenie (Z3) stanowi, że zakłócenia redukują się wzajemnie.
Z(4) wariancje składników losowych są stałe (homoskedastyczność)  macierz wariancji i
kowariancji pomiędzy składnikami resztowymi jest postaci
2
D2(�)�=� E(�T�)�=�s� I
Założenie (Z4) zapewnia, ze wartość wariancji zakłóceń nie zależy od numeru obserwacji oraz
zakłócenia w modelu nie są skorelowane pomiędzy różnymi obserwacjami
Z(5) Każdy ze składników losowych ma rozkład normalny
Założenie (Z5) dotyczące normalności rozkładu składnika losowego mają znaczenie przy
wnioskowaniu statystycznym
22
Ekonometria
dr Adam Sojda
Estymacja parametrów  Metoda Najmniejszych Kwadratów MNK
Twierdzenie Gaussa Markowa
Estymator a wyznaczony KMNK jest estymatorem: liniowym,
zgodnym, nieobciążonym i najefektywniejszym w klasie liniowych i
nieobciążonych estymatorów wektora parametrów ą modelu
liniowego jednorównaniowego.
Estymator jest:
-- estymatorem zgodnym, jeśli jest zbieżny stochastycznie do ą
-- estymatorem nieobciążonym, jeśli E(a)=ą
-- estymatorem najefektywniejszym  jeśli na w określonej klasie
najmniejszą wariancję
-- estymatorem liniowym  ponieważ każda składowa wektora a
jest liniową funkcją składowych wektora y o
współczynnikach iloczynu (XTX)-1XT
23
Ekonometria
dr Adam Sojda
Weryfikacja modelu
Proces weryfikacji modelu opiera się na zbadaniu
własności:
" Stopnia zgodności z danymi empirycznymi
" Własności rozkładu odchyleń losowych
24
Ekonometria
dr Adam Sojda
Weryfikacja modelu  badanie dopasowania
Współczynnik zmienności losowej
Se
Ve =� ��100%
y
Im mniejsze wartości współczynnika, tym model lepiej
dopasowany. Przyjmuje się, że powyżej wartości 10%
współczynnik ten informuje, że dopasowanie modelu do
danych jest zbyt słabe.
Informuje jaki procent średniej arytmetycznej zmiennej
objaśnianej stanowi odchylenie standardowe reszt.
25
Ekonometria
dr Adam Sojda
Weryfikacja modelu  badanie dopasowania
" Współczynnik zbieżności
n
2
��e
t
t=�1
j�2 =�
n
2
��(�y -� y)�
t
t=�1
" Współczynnik determinacji
n
2
��(�w
-� y)�
t
eTe yTy -� aTXTy
t=�1
R2 =�
R2 =�1-� =�1-�
n
2
yTy -� ny2 yTy -� ny2
��(�y -� y)�
t
t=�1
26
Ekonometria
dr Adam Sojda
Weryfikacja modelu  badanie dopasowania
Współczynnik korelacji wielorakiej R
det W
�� ł�
1 RT
0
R =� 1 -�
W =�
ę� ś�
det R
R
0
��R ��
Określa on siłę związku korelacyjnego liniowego zmiennej endogenicznej ze
wszystkimi zmiennymi egzogenicznymi.
Można go wyznaczyć jako pierwiastek ze współczynnika determinacji.
27
Ekonometria
dr Adam Sojda
Weryfikacja modelu  badanie dopasowania
Badanie istotności współczynnika determinacji.
Hipotezy:
H0: R=0 |a�1|=|a�2|=& =|a�k|=0
H1: R`"0 |a�1|+|a�2|+& +|a�k|`"0
Statystyka/procedura Wartość krytyczna
F* - odczytana z tablicy rozkładu F Snedecora
R2 n -� k -�1
dla poziomu istotności a� oraz stopni swobody: m1=k
F =�
1-� R2 k
m2 = n-k-1
Decyzja: jeśli F d" F* , to brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0
jeśli F > F*, to hipotezę H0 odrzucamy
28
Ekonometria
dr Adam Sojda
Weryfikacja modelu  badanie dopasowania
Badanie istotności poszczególnych parametrów.
Hipotezy:
H0: a�i=0
H1: a�i`"0
Statystyka/procedura Wartość krytyczna
I* - odczytana z tablicy testu t Studenta
dla poziomu istotności a� oraz stopni swobody: n-k-1
ai
Ii =�
S(�ai )�
Decyzja: jeśli Ii d" I* , to brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0
jeśli Ii > I*, to hipotezę H0 odrzucamy
29
Ekonometria
dr Adam Sojda
Weryfikacja modelu  badanie własności reszt
Badanie losowości
Hipotezy:
H0: Ymodel = f(X1,X2,& ,Xk)
H1: Ymodel `" f(X1,X2,& ,Xk)
Statystyka/procedura oraz wartość krytyczna
Dla ciągu reszt obliczamy liczbę serii r pojawiania się reszt dodatnich i ujemnych. Dla
wartości n1 oraz n2 oznaczających liczbę reszt dodatnich albo ujemnych (bądz
odwrotnie)
odczytujemy z tablicy testu serii lewostronnego oraz prawostronnego wartości:
r*min oraz r*max.
Jeśli: r*min < r < r*max, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy Ho.
w przeciwnym przypadku hipotezę H0 należy odrzucić przyjmując H1
31
Ekonometria
dr Adam Sojda
Weryfikacja modelu  badanie własności reszt
n
1
et -� e
Normalność rozkładu  test Hellwiga
e =�
ut =�
��e
t
n
Hipotezy:
s� t=�1
H0: F(e�) = FN(e�)
n
1
2
H1: F(e�) `" FN(e�)
s� =�
��(�e -� e)�
t
n
Statystyka/procedura t=�1
1. Standaryzujemy reszty zgodnie ze wzorem:
2. Wyznacza się wartości dystrybuanty rozkładu N(0,1) - F�(ut)
3. Wyznacza się tzw. cele, którymi są przedziały liczbowe powstałe z podziału
odcinka [0,1] na n równych części o długości 1/n każda.
4. Wartości dystrybuanty F�(ut) przyporządkowuje się odpowiednim celom, następnie
zlicza się liczbę cel pustych K.
5. Z tablic testu Hellwiga odczytuje się wartości krytyczne K1 oraz K2 dla zadanego
poziomu istotności
Jeśli K1 d" K d" K2 , to nie ma podstaw do odrzuceniu H0
w przeciwnym przypadku H0 odrzucamy na korzyść H1
32
Ekonometria
dr Adam Sojda
Weryfikacja modelu  badanie własności reszt
Normalność rozkładu  test Bery-Jargua
Hipotezy:
1 1
H0: F(e�) = FN(e�)
JB =� nć� ( B1 )2 +� (B2 -� 3)2 ��
�� ��
H1: F(e�) `" FN(e�)
6 24
Ł� ł�
Statystyka/procedura
Należy wyznaczyć statystykę JB
n
n n
1
1 et3 1 et4
2
S =�
B1 =� B2 =�
��e
t
��S ��S
3 4
n
n n
t =�1
t =�1 t =�1
Statystyka JB ma rozkład c�2 z dwoma stopniami swobody.
Jeśli JB d" c�2 dla określonego poziomu istotności nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy zerowej
Jeśli JB > c�2 dla określonego poziomu istotności hipotezę Ho należy odrzucić
przyjmując alternatywną.
33
Ekonometria
dr Adam Sojda
n
Weryfikacja modelu  badanie własności reszt
2
��(�e -� et-�1)�
t
Badanie autokorelacji rzędu 1 test Durbina-Watsona
t=�2
d =�
n
Hipotezy:
2
��e
t
H0: r1 = 0
t=�1
H1: r1 > 0 albo H1: r1 < 0 dla dodatniej albo ujemnej autokorelacji
Statystyka/Procedura
Wyznaczany współczynnik d pomiędzy resztami z okresu t a okresu t-1.
Jeśli d " (0,2) autokorelacja może być dodatnia
Jeśli d " (2,4) autokorelacja może być ujemna i wtedy podstawiamy d =4-d
Z tablic testu Durbina-Watsona odczytujemy wartości du i dl.
Decyzja:
jeśli d < dl (bądz
dla ujemnej d < dl), hipotezę H0 odrzucamy  istnieje
autokorelacja rzędu pierwszego
jeśli d > du, nie ma podstaw do odrzucenia Ho  nie występuje zjawisko
autokorelacji
jeśli dl d" d d" du nie można podjąć żadnej decyzji
34
Ekonometria
dr Adam Sojda
Weryfikacja modelu  badanie własności reszt
Badanie autokorelacji rzędu t�
Hipotezy:
H0: rt� = 0
H1: rt� `" 0
Statystyka/Procedura
Wyznaczany współczynnik korelacji Pearsona pomiędzy resztami z okresu t a okresu t-t� .
n
Wyznaczana jest wartość It�
��(�e -� et )�(�et-�t� -� et-�t� )�
t
t=�t� +�1
rt� =�
n n
rt� n -�t� -� 2
2 2
It� =�
(�et -� et )� ��
�� ��(�e -� et-�t� )�
t-�t�
1-� rt�2
t=�t� +�1 t=�t� +�1
Odczytywana jest wartość I* z tablic testu t Studenta dla poziomu istotności a� oraz stopni swobody m
= n-t�-2.
Decyzja: jeśli It� d" I* , to brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0
jeśli It� > I*, to hipotezę H0 odrzucamy
35
Ekonometria
dr Adam Sojda
Weryfikacja modelu  badanie własności reszt
Badanie stałości wariancji  istotność współczynnika korelacji pomiędzy resztami a zmienną czasową
Hipotezy:
H0: rt = 0
H1: rt `" 0
Statystyka/Procedura
Wyznaczany współczynnik korelacji Pearsona pomiędzy modułami reszt a zmienną czasową t
oraz wyznacza się wartość statystyki It
n
��(�e -� et )�(�t -� t )�
t
t=�1
rt n -� 2
rt =�
n n
It =�
2
2
��(�e -� et )� ����(�t -� t )�
t
1 -� rt2
t=�1 t=�1
Odczytywana jest wartość I* z tablic testu t Studenta dla poziomu istotności a� oraz stopni swobody
m = n - 2.
Decyzja: jeśli It d" I* , to brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0
jeśli It > I*, to hipotezę H0 odrzucamy
36
Ekonometria
dr Adam Sojda
Weryfikacja modelu - badanie własności reszt
n1
1
Badanie stałości wariancji
2
2
Se.1 =�
��(�e -� e1)�
t
n1 -� k -�1
t=�1
Hipotezy:
n
1
2
2
Se.2 =�
��(�e -� e2)�
H0: s�2e.1 = s�2e.2
n2 -� k -�1t=�n-�n +�1 t
2
n1
1
H1: s�2e.1 < s�2e.2
e1 =�
��e
n1 t=�1 t
Statystyka/Procedura
Wyznaczana jest wartość:
n
1
e2 =�
2 ��e
Se.2
n2 t=�n-�n2 +�1t
F =�
2
Se.1
Z tablic rozkładu F  Snedocora dla zadanego poziomu istotności a� oraz stopni swobody
m1=n2-k-1 oraz m2 = n1  k -1 odczytujemy wartość krytyczną F*.
Decyzja: jeśli F d" F* , to brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0
jeśli F > F*, to hipotezę H0 odrzucamy
37
Ekonometria
dr Adam Sojda
Weryfikacja modelu - badanie własności reszt
Badanie nieobciążoności odchyleń resztowych  dla modeli nieliniowych ze względu na
parametry strukturalne.
Hipotezy:
H0: E(e�) = 0
H1: E(e�) `" 0
Statystyka/Procedura
n
e n -�1
n
1
1
2
I =�
e =�
\
e =�
��e
t ��(�e -� e)�
t
gdzie
\
e
n
n
t=�1
t=�1
Odczytywana jest wartość I* z tablic testu t Studenta dla poziomu istotności a� oraz stopni
swobody
m = n - 1.
Decyzja: jeśli It d" I* , to brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0
jeśli It > I*, to hipotezę H0 odrzucamy
38
Ekonometria
dr Adam Sojda
Predykcja na podstawie modelu liniowego
Dany jest model liniowy jednorównaniowy
w
=� a0 +� a1x1 +� a2x2 +�K�+� ak xk
Warunkiem dokonania predykcji jest znajomość wartości
zmiennych objaśniających: x*T1, x*T2,& , x*Tk,
Prognoza:
* * *
w
* =� a0 +� a1xT1 +� a2xT 2 +�K�+� ak xTk
2
Średni błąd prognozy:
SpT =� xT D2(�a)�xT +� Se
T
*� *� *�
xT =�[�1, xT1, xT 2,K�, xTk]�
gdzie:
T
39
Ekonometria
dr Adam Sojda
Predykcja na podstawie modelu liniowego
Przedział prognozy:
*� *�
b� - wiarygodność prognozy:
P{�dyT <� yT <� gyT}�=� b�
*�
- dolna granica przedziału prognozy:
dyT
*�
- górna granica przedziału prognozy:
gyT
ub�
b�
*� *�
dyT =� yT -� ub� SpT
0.95 1,96
0,90 1,65
*� *�
gyT =� yT +� ub� SpT
40
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe
Wybór postaci analitycznej:
Jeśli wiadomo, że przyrosty zmiennej objaśnianej Y względem
zmiennych objaśniających X1, X2,& , Xk są stałe sugeruje to liniową
postać modelu.
w
t =� a0 +� a1xt1 +� a2xt 2 +�K�+� ak xtk
Jeśli wiadomo, że elastyczność zmiennej objaśnianej Y względem
zmiennych objaśniających jest stała, to model powinien mieć postać
potęgową.
Elastyczność jest równa wykładnikowi potęgi czyli a�i, zatem jest stała.
a�1 a�2 a�k
w
=� a�0x1 x2 ...xk
x
ó�
Ex f =� f (�x)�
Elastyczność funkcji różniczkowalnej f(x)
f (�x)�
41
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe
Jeśli jednostkowym przyrostom zmiennej objaśniającej
towarzyszą coraz mniejsze przyrosty zmiennej objaśnianej
wówczas należy zastosować model postaci:
w
=� b� +�a� log X
Jeśli wiadomo, że jednostkowym przyrostom zmiennej
objaśniającej towarzyszą coraz większe przyrosty zmiennej
objaśnianej, model może mieć postać wykładniczą:
x
w
=� b�a�
42
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe
Wybór postaci analitycznej na podstawie wykresu rozrzutu
35
100
90
30
80
25
70
60
20
50
15
40
10 30
20
5
10
0
0
0 5 10 15 20
0 5 10 15 20
1
1
w
=�
w
=� a�0 +�a�1x +�a�2x2
w
=� b� +� a�
b� +� a�x
x
43
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe  sprowadzanie do postaci liniowej
Procedura transformacji liniowej:
1. Na podstawie wykresu rozrzutu określamy możliwą postać analityczną
zależności pomiędzy zmienną objaśnianą a zmienną objaśniającą.
2. Dokonujemy przekształcenia funkcji nieliniowej na funkcję liniową. Istnieją
dwa rodzaje nieliniowości:
" nieliniowość za względu na zmienne objaśniające przy liniowości ze
względu na parametry
" Nieliniowość zarówno ze względu na parametry jak i na zmienne
objaśniające.
3. Obliczamy wartości zmiennych pomocniczych i sporządzamy wykres
punktowy, jeśli punkty układają się wzdłuż prostej to dokonano prawidłowej
transformacji liniowej.
4. Szacujemy parametry funkcji liniowej po transformacji
5. Wyznaczamy parametry funkcji nieliniowej znając ich związki z parametrami
w postaci liniowej
44
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe  sprowadzanie do postaci liniowej funkcje T�rnquista
Modele T�rnquista są mikroekonomicznymi modelami funkcji popytu:
Dla dóbr niższego rzędu:
bx
w
=�
a +� x
Dla dóbr i usług wyższego rzędu:
b(�x -� c)�
w
=�
a +� x
bx(�x -� c)�
Dla dóbr luksusowych:
w
=�
a +� x
45
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe  funkcje T�rnquista
bx
Popyt na dobra niższego rzędu:
w
=�
a +� x
2 0,07
1,8
0,06
1,6
0,05
1,4
1,2
0,04
1
0,03
0,8
0,6
a >� 0 0,02
0,4
0,01
0,2 a <� 0
0
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Linearyzacja:
1 a +� x 1 1 a 1
=� =� +�
1. Odwrócenie obu stron równania
w
bx w
b b x
2. Rozdzielenie na dwa ułamki
3. Podstawienie 1 1 a 1
ó� ó�
w
=� ; a0 =� ; a1 =� ; x =�
4. Postać liniowa
w
b b x
ó� ó�
w
=� a0 +� a1x
46
3
9
5
1
1
2
4
17
33
49
65
81
97
1
1
1
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe  sprowadzanie do postaci liniowej funkcja T�rnquista I
Procedura transformacji liniowej:
lp. Dochody (x) Wydatki (y)
1 1,04 5,18
6
2 1,06 4,22
y = -2,1913x + 5,4558
5
3 1,09 3,44
R2 = 0,6266
4 1,13 2,77
4
5 1,24 1,88
6 1,26 1,77
3
7 1,36 1,44
2
8 1,55 1,14
9 1,69 1,11
1
10 1,98 0,88
11 2,22 0,77
0
1 1,5 2 2,5 3
12 2,25 0,69
13 2,26 0,79
14 2,45 0,82
47
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe  sprowadzanie do postaci liniowej funkcja T�rnquista I
Procedura transformacji liniowej:
lp. x'=1/x y'=1/y
1,6
1 0,96 0,19
1,4
2 0,94 0,24 1 a
a0 =� ; a1 =�
1,2
3 0,92 0,29
b b
4 0,88 0,36
1
5 0,81 0,53
0,8
6 0,79 0,56
0,6
7 0,74 0,69
0,4 y = -2,0919x + 2,2111
8 0,65 0,88
9 0,59 0,9 0,2
R2 = 0,9788
10 0,51 1,14
1 1
0
b =� =� =� 0,45
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
11 0,45 1,3
a0 2,21
12 0,44 1,45
13 0,44 1,27
a =� ba1 =� 0,45 �� (-�2,09) =� -�0,94
14 0,41 1,22
48
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe  sprowadzanie do postaci liniowej funkcja T�rnquista I
Dochody Wydatki
w

lp. (x) (y)
6
1 1,04 5,18 4,68
2 1,06 4,22 3,98
5
Dane
3 1,09 3,44 3,27
empiryczne
4 1,13 2,77 2,68
4 Dane
5 1,24 1,88 1,86
teoretyczne
6 1,26 1,77 1,77
3
7 1,36 1,44 1,46
8 1,55 1,14 1,14
2
9 1,69 1,11 1,01
10 1,98 0,88 0,86
1
11 2,22 0,77 0,78
12 2,25 0,69 0,77
0
13 2,26 0,79 0,77
dochód
14 2,45 0,82 0,73
49
Wydatki
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe  funkcje T�rnquista II
b(�x -� c)�
Popyt na dobra wyższego rzędu:
w
=�
a +� x
Linearyzacja:
w
a +� w
x =� bx -� bc
1. Przemnożenie przez mianownik (a+x)
w
a bc
+� w
=� b -�
x x
2. Podzielenie przez x
w
1
w
=� b -� a -� bc
x x
3. Uporządkowanie i podstawienie
a0 =� b; a1 =� -�a;a2 =� -�bc
w
1
z1 =� ; z2 =�
4. Postać liniowa
x x
w
=� a0 +� a1z1 +� a2 z2
50
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe  funkcja produkcji Cobba-Douglasa
Ekonometryczna analiza procesu produkcyjnego opiera się na kilku miernikach
syntetycznych:
Produkt całkowity  teoretyczna wartość zmiennej objaśnianej przy znanych,
prognozowanych bądz
ustalonych wartościach wszystkich zmiennych
objaśniających:
Ć
PC =� P
Poprzez porównanie poziomu rzeczywistego produkcji z produktem całkowitym
można ocenić działalność firmy w danych okresie. Jeśli poziom rzeczywisty jest
większy ocena powinna być pozytywna.
51
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe  funkcja produkcji Cobba-Douglasa
Produkt przeciętny jest to przeciętna wielkość produkcji przypadająca na
jednostkę i  tego czynnika produkcji przy ustalonych wartościach wszystkich
czynników produkcji.
PC
PPi =�
Xi
Produkt krańcowy jest to oczekiwany przyrost produkcji, spowodowany
przyrostem i-tego czynnika produkcji o jednostkę przy założeniu, że pozostałe
czynniki produkcji nie zmienią się
Ć
D�P
PKi =�
D�Xi
52
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe  funkcja produkcji Cobba-Douglasa
Elastyczność jest to oczekiwany względny przyrost produkcji (np. w procentach),
spowodowany jednostkowym względnym przyrostem i-tego czynnika produkcji
(np. o 1%) przy założeniu, że pozostałe czynniki nie zmieniają się
Ć Ć Ć
D�P D�Xi D�P P
Ei =� : =� : =� PKi : PPi
Ć
Xi D�Xi Xi
P
Efekt skali produkcji jest to oczekiwany względny przyrost produkcji (np. w
procentach) spowodowany jednoczesnym jednostkowym względnym przyrostem
wszystkich czynników produkcji (np. o 1%)
k
A =�
��E
i
i=�1
53
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe  funkcja produkcji Cobba-Douglasa
Krańcowa stopa substytucji czynników produkcji (czynnika i przez czynnik j)
określa, jaki nakład (zasób) czynnika j musi być wprowadzony w miejsce
wycofywanej jednostki nakładów (zasobów) czynnika i, przy założeniu, że
pozostałe czynniki się nie zmieniają, tak aby poziom produkcji również nie uległ
zmianie.
Ć Ć
D�X
D�P D�P PKi
j
SSij =� -� =� : =�
D�Xi -� D�Xi D�X PK
j j
Optymalna kombinacja nakładów dwóch czynników, występuje jeśli spełniony
jest poniższy warunek (Ci, Cj  ceny czynników i oraz j).
PKi PK j
=�
Ci C
j
54
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe  funkcja produkcji Cobba-Douglasa
Najczęściej spotykana w praktyce postać analityczna funkcji produkcji
b1 b2 b3 bk
Ć
P =� b0 X1 X2 X3 ...Xk
Oszacowanie parametrów następuje poprzez logarytmowanie funkcji produkcji i
sprowadzenie do modelu liniowego
b1 b2 b3 bk
Ć
ln P =� ln(�b0X1 X2 X3 ...Xk )�
Ć
ó�
P =� ln b0 +� b1 ln X1 +� b2 ln X2 +�...+� bk ln Xk
55
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe  funkcja produkcji Cobba-Douglasa
Na podstawie następujących danych dotyczących następujących wielkości
oszacować parametry funkcji produkcji typu Cobba-Douglasa:
y x1 x2 ln(y)=u ln(x1)=z1 ln(x2)=z2
45 120 18 3,81 4,79 2,89
49 140 19 3,89 4,94 2,94
Proces linearyzacji
50 160 20 3,91 5,08 3
52 180 21 3,95 5,19 3,04
53 200 21 3,97 5,3 3,04
54 220 22 3,99 5,39 3,09
55 240 23 4,01 5,48 3,14
0,27 0
w
=�12,3x1 x2,01 � =� 2,51+� 0,27z1 +� 0,01z2
56
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe  funkcja produkcji Cobba-Douglasa
Zadanie.
Niech będzie dana funkcji produkcji Cobba-Douglasa:
P  produkcja w mln zł
X1  majątek trwały w tyś zł
X2 - zatrudnienie w osobach.
Wiemy, że w pewnym okresie wartość majątku trwałego wynosiła
280 000 zł, a zatrudnienie było równe 35 osób.
Wyznaczyć:
(i) Produkt całkowity
(ii) Produkty przeciętne
(iii) Produkty krańcowe
(iv) Elastyczność
(v) Efekt skali
(vi) Krańcowe stopy substytucji
57
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe  funkcja produkcji Cobba-Douglasa
Po oszacowaniu parametrów otrzymano funkcję postaci:
0,21 0,18
Ć
P =� 9,97X1 X2
Produkt całkowity
Ć
PC =� P =� 9,97��2800,21��350,18 =� 61,73
Przy danych nakładach obu czynników produkcji należy spodziewać się efektów
produkcyjnych na poziomie
PC 61,73
PP1 =� =� =� 0,22
X1 280
Produkt przeciętny
PC 61,73
PP2 =� =� =�1,76
X 35
2
Przy danych wartościach zmiennych objaśniających z 1 tys. zł majątku trwałego można uzyskać
przeciętnie produkcję o wartości 220 tys. zł. Na jednego zatrudnionego przypada produkcja o
wartości przeciętnej 1 mln 760 tys zł.
58
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe  funkcja produkcji Cobba-Douglasa
Produkt krańcowy
ś�P PC
b1 bk
i
PKi =� =� bib0 X1 ...Xib -�1...Xk =� bi
ś�Xi Xi
Uwaga: oszacowanie powyższe tylko dla funkcji Cobba-Douglasa
PC 61,73
PK1 =� b1 =� 0,21 =� 0,046
X1 280
PC 61,73
PK =� b2 =� 0,18 =� 0,317
2
X 35
2
Zwiększenie majątku trwałego o 1 tys zł powinno, ceteris paribus, spowodować
wzrost produkcji o 46 tys. zł, zwiększając zatrudnienie o jedną osobę powinien
nastąpić wzrost o 317 tys. zł.
59
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe  funkcja produkcji Cobba-Douglasa
Elastyczność produkcji
PC
bi
PKi X
i
Ei =� =� =� bi
PC
PPi
X
i
Uwaga: oszacowanie powyższe tylko dla funkcji Cobba-Douglasa
E1 =� 0,21 E2 =� 0,18
Zwiększenie majątku trwałego o 1% powinno, ceteris paribus, spowodować
wzrost produkcji o 0,21%, zwiększenie zatrudnienia o 1% wzrost o 0,18%
60
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe  funkcja produkcji Cobba-Douglasa
Efekt skali produkcji
A =� E1 +� E2 =� 0,21+� 0,18 =� 0,39
Jednoczesne zwiększenie obu czynników o 1% powinno dać zwiększenie
produkcji o 0,39%.
Jeśli A < 1 , to efekty rosną wolniej niż nakłady i zasoby czynników produkcji
(malejąca wydajność czynników produkcji)
Jeśli A > 1, to efekty rosną szybciej niż nakłady i zasoby (rosnąca wydajność
czynników produkcji)
Jeśli A =1, wtedy efekty rosną w takim samym tempie jak nakłady i zasoby czynników
produkcji (stała wydajność czynników produkcji)
61
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe  funkcja produkcji Cobba-Douglasa
Krańcowa stopa substytucji
PK1
0,046
SS12 =� =� =� 0,145
PK 0,317
2
PK
0,317
2
SS21 =� =� =� 6,891
PK1 0,046
Majątek trwały o wartości 1 tys. zł można zastąpić zwiększeniem zatrudnienia o
0,145 etatu. Natomiast jedną osobę można zastąpić majątkiem trwałym o
wartości 6,891 tys. zł.
62
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe  metoda najmniejszych kwadratów  algorytm Gaussa-Newtona
Należy oszacowań parametry modelu nieliniowego:
t =�1,2,...,n
yt =� f (�xt,�)�+� x�t
gdzie
yt  obserwacje zmiennej objaśnianej
xt  wektor obserwacji k zmiennych objaśniających
b� - wektor m parametrów strukturalnych
x�t  realizacje składników losowych
Składniki losowe są nieskorelowane, mają średnią równą zero, jednakową
skończoną wariancję.
Poszukujemy estymatora b wektora parametrów b� spełniającego warunek:
n
2
min S(�)�=� min
��[�y -� f (�xt ,�t)�]� =� S(�b)�
t
� �
t =�1
63
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe  metoda najmniejszych kwadratów  algorytm Gaussa-Newtona
Metoda Gaussa-Newtona polega na zastąpieniu w l-tej iteracji modelu
nieliniowego jego liniową aproksymantą otrzymaną poprzez rozwinięcie funkcji w
szereg Taylora z dokładnością do składników liniowych (tj. pierwszych
pochodnych) wokół pewnego przybliżenia parametrów b�(l)
m
(�xt,�)�
(�l)�
yt =� f (�xt,�(l))�+� (�b� -� b� )�+� vt(�l)�
��ś�fś�b� j j
t =�1,2,...,n
j =�1
j
�=�(�l )�
gdzie
vt(�l)� =� z�t(�l)� +� x�t
Nowe składniki losowe, przy czym z�t(l) są błędami wyrażającymi odchylenia
powstałe wskutek zastosowania aproksymacji (pominięcie wyrazów szeregu
Taylora)
64
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe  metoda najmniejszych kwadratów  algorytm Gaussa-Newtona
Otrzymany model jest już liniowy ze względu na parametry d�j(l) = b�j - b�j(l) zatem
można je szacować MNK:
-�1
T T
d(�l)� =�[�(�Z(�l)�)� Z(�l)�]� (�Z(�l)�)� e(�l)�
gdzie
��ś�f ,�)�ł�
(�xt
(�
Z(�l )� =� [�ztjl )�]�=�
ę� ś�
ś�b�
ę� ś�b� =�b� macierz n x m pierwszych pochodnych
j
�� ��
j
cząstkowych względem parametrów obliczonych dla ustalonych w l-tej
kombinacji przybliżeń b�(l) oraz danych obserwacji zmiennych objaśniających.
e(�l)� =�[�et(�l)�]�=�[�yt -� f (�xt ,�(�l)�)�]�
wektor różnic pomiędzy
zaobserwowanymi wartościami zmiennej zależnej a l-tym przybliżeniem
65
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele nieliniowe  metoda najmniejszych kwadratów  algorytm Gaussa-Newtona
W następnej iteracji poprawiamy oceny parametrów
(�l+�1)� (�l)� (�l)�
b� =� b� +� d
j j j
ponownie rozwijamy funkcję w szereg Taylora, ale wokół nowego punktu i
ponownie stosujemy MNK. Procedurę tą powtarzamy, aż do momentu, w którym
wszystkie wartości poprawek będą nie większe niż ustalony poziom e�. Jeśli dla
pewnej iteracji L ten warunek zachodzi, to jako oceny MNK przyjmujemy
oszacowania z tej właśnie iteracji.
Zatem, jeśli dla wszystkich l ł� L oraz wszystkich j =1,2,& ,m
(�l)�
d <� e� �� b =� �(�l)�
j
66
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele wielorównaniowe ze względy na sposób powiązania ze sobą zmiennych
endogenicznych możemy podzielić na:
" Modele proste  nie występują powiązania pomiędzy nieopóz
nionymi w czasie zmiennymi
endogenicznymi.
" Modele rekurencyjne  w danym równaniu występują tylko te zmienne endogeniczne, które
we wcześniejszych równaniach pełniły rolę zmiennych objaśnianych.
" Modele o równaniach współzależnych  zmienne endogeniczne mogą w dowolnym
równaniu pełnić rolę zmiennych objaśniających.
m k
Y1 =�
��b� Yi +���g� Z +� e�1
1i 1 j j
i=�2 j=�1
m k
Y2 =�
��b� Yi +���g� Z +� e�2
2i 2 j j
i=�1 j=�1
ią�2
K�........................................
m k
Ym =�
��b� Yi +���g� Z +� e�m
mi mj j
i=�2 j=�1
67
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele wielorównaniowe
Postać strukturalna i zredukowana:
Postać strukturalna  wszystkie wyrazy modelu przenosimy na lewą stronę, po
prawej pozostają tylko odchylenia losowe
BY +� �Z =� �
Y1
�� ł�
-�g�11 -�g�12 L� -�g�1k Z1
�� ł� �� ł�
1 -� b�12 L� -� b�1m
�� ł�
ę�Y ś�
ę� ś� ę�Z ś�
ę� ś�
2
2
ę�-�g� 21 -�g� 22 L� -�g� 2k ś�
ę� ś� ę� ś�
� =�
Z =�
Y =�
ę�-� b�21 1 L� -� b�2m ś�
B =�
ę� ś�
L� L� L� L� ę� ś�
L�
ę� ś�
...
ę� ś�
L� L� L� L�
ę� ś�
ę�Z ś�
ę� ś�
ę� ś�
-�g� L� -�g�
��-�g� m1 m2 mk ��
�� k ��
��-� b�m1 -� b�m2 L� 1 ��
��Ym ��
e�1
�� ł�
ę�e� ś�
2
ę� ś�
� =�
ę� ś�
L�
ę� ś�
��e�m ��
68
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele wielorównaniowe
Postać zredukowana  jeśli zmienne endogeniczne zostaną wyrażone tylko
przez zmienne z góry ustalone, to otrzymujemy postać zredukowaną modelu.
k
Y1 =�
��p� Z +�h�1
1 j j
j=�1
k
Y2 =�
��p� Z +� h�2.
2 j j
j=�1
...............................
k
Ym =�
��p� Z +�h�1
mj j
j=�1
69
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele wielorównaniowe
Postać zredukowana zapis macierzowy
Y =� TZ +� �
h�1
�� ł�
p�11 p�12 L� p�1k
�� ł�
ę�p� p� L� p� ś� ę�h� ś�
21 22 2k
2
ę� ś�
ę� ś�
T =�
� =�
ę� ś�
L� L� L� L�
ę� ś�
L�
ę� ś�
ę� ś�
p� L� p�
��p� m1 m2 mk ��
��h�m ��
� =� B-�1�
T =� -�B-�1�
70
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele wielorównaniowe
Rozróżnienie, do której z klas dany model należy odbywa się na drodze badania
własności macierzy B
Jeśli macierz B jest macierzą diagonalną lub taką się okaże po
przenumerowaniu równań modelu, to model nazywamy prostym.
Jeśli macierz B jest macierzą trójkątną lub taką się okaże po przenumerowaniu
równań model, to model nazywamy rekurencyjnym.
Jeśli z macierzy B nie można poprzez przestawienie wierszy lub kolumn
otrzymać macierzy diagonalnej albo trójkątnej, to model jest modelem o
równaniach współzależnych.
71
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele wielorównaniowe
Identyfikowalność modeli o równaniach współzależnych
Jeśli równanie jest identyfikowalne, to można oszacować jego parametry.
Jeśli równanie nie jest identyfikowalne, to nie można oszacować jego
parametrów.
Cały model jest identyfikowalny, jeśli każde jego równanie jest identyfikowalne.
TWIERDZENIE
Warunkiem koniecznym i wystarczającym tego, aby i-te równanie
wchodzące w skład modelu o m równaniach współzależnych było
identyfikowalne, jest aby macierz Ai parametrów znajdujących się
przy zmiennych, które są w modelu, a nie występują w równaniu,
którego identyfikowalność jest badana była rzędu m -1.
72
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele wielorównaniowe
Niech ki oznacza liczbę zmiennych, które znajdują się w modelu, a nie występują
w równaniu, którego identyfikowalność jest badana.
Jeśli ki = m -1, to równanie jest jednoznacznie identyfikowalne.
Jeśli ki > m -1, to równanie jest niejednoznacznie identyfikowalne.
Jeśli ki < m -1, to równanie nie jest identyfikowalne.
73
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele wielorównaniowe
Estymacja parametrów
Dla modeli prostych parametry każdego równania można szacować parametry
każdego z równań osobno.
Dla modelu rekurencyjnego o trójkątnej macierzy B zaczynamy od estymacji
pierwszego równania i wyznaczenia wartości teoretycznych zmiennej
objaśnianej. Następnie estymujemy parametry drugiego równania używając
wartości teoretycznych zmiennej endogenicznej otrzymanej z poprzedniej
estymacji. Estymując parametry strukturalne każdego z następnych równań
używamy znanych wartości teoretycznych zmiennych endogenicznych
wyznaczonych na podstawie poprzednich równań.
74
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele wielorównaniowe Estymacja parametrów modeli o równaniach współzależnych
Pośrednia metoda najmniejszych kwadratów ma zastosowanie do szacowania
parametrów modeli o równaniach współzależnych jednoznacznie identyfikowalnych.
Bądz
też parametrów równań jednoznacznie identyfikowalnych wchodzących w skład
modelu o równaniach współzależnych.
Procedura metody:
1.Sprowadzamy model do postaci zredukowanej
Y =� TZ +� �
2.Parametry postaci zredukowanej szacuje się klasyczną metodą najmniejszych kwadratów
-�1
P =�(�ZTZ)� ZTY
PT a� T
3.Oceny parametrów postaci strukturalnej uzyskujemy rozwiązując układ równań
BPT =� -�G�
75
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele wielorównaniowe  podwójna metoda najmniejszych kwadratów
Podwójna metoda najmniejszych kwadratów służy do szacowania parametrów
równań modeli o równaniach współzależnych jednoznacznie , jak i
niejednoznacznie identyfikowalnych. Parametry każdego z równań szacuje się
oddzielnie.
Niech i oznacza numer szacowanego równania. W równaniu tym występuje h
zmiennych endogenicznych, przy czym h-1 z nich pełni rolę zmiennych
objaśniających. Dodatkowo zakładamy, że w równaniu występuje f zmiennych z
góry ustalonych. Szacowane jest zatem równanie:
f
h
Yi =�
��b� Yl +���g� Z +� e�i
il ij j
l=�1 j=�1
lą�i
Wyznaczana jest postać zredukowana dla danego równania na podstawie
wszystkich obserwacji k zmiennych z góry ustalonych:
k
Yl =�
dla l =�1,2,...,i -�1,i +�1,...,h
��p� Z +�h�l
lj j
j=�1
76
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele wielorównaniowe  podwójna metoda najmniejszych kwadratów
Parametry postaci zredukowanej szacuje się za pomocą MNK ze wzoru
-�1
Pi =�(�ZTZ)� ZTYi
Z  macierz (n x k) obserwacji wszystkich zmiennych z góry ustalonych w
modelu, Yi  macierz [n x (h-1)] obserwacji zmiennych łącznie współzależnych
występujących w i  tym równaniu w roli zmiennych objaśniających, Pi  macierz
[k x (h-1)] ocen parametrów postaci zredukowanej zmiennych łącznie
współzależnych występujących w roli zmiennych objaśniających w szacowanym
modelu.
Wyznaczane są teoretyczne wartości zmiennych łącznie współzależnych
występujących w szacowanym równaniu w roli zmiennych objaśniających
v
i =� ZPi
Oszacowane zmienne współzależne wstawia się do tego równania otrzymując
f
równanie postaci
h
Ć
Yi =�
��b� Yl +� ��g� Z +� e�i
il ij j
l =�1 j =�1
l ą�i 77
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele wielorównaniowe  podwójna metoda najmniejszych kwadratów
Parametry tego równania można oszacować metodą najmniejszych kwadratów
-�1
bi ć� T T
�� ł�
ai =� =� [�v
iZi]� [�v
iZi]��� [�v
iZi]� yi
�� ��
ę�c ś�
Ł� ł�
�� i ��
ai  wektor [(h-1+f) x 1] ocen parametrów strukturalnych szacowanego równania;
bi  wektor [(h-1) x 1] ocen parametrów strukturalnych przy zmiennych łącznie
współzależnych występujących w szacowanym równaniu w roli zmiennych
objaśniających; ci - wektor [f x 1] ocen parametrów strukturalnych przy zmiennych z
góry ustalonych występujących w tym równaniu; Zi  macierz (n x f ) obserwacji
zmiennych z góry ustalonych występujących w szacowanym równaniu; yi  wektor
(n x 1) obserwacji zmiennej endogenicznej bez opóz
nień czasowych pełniący rolę
zmiennej objaśnianej.
Wzór powyższy może być również zapisany w postaci równoważnej:
-�1
��v
iTv
i v
iTZi ł� ��v
iT yi ł�
bi
�� ł�
=�
ę� ś� ę� ś�
ę�c ś�
T T
yi
�� i ��
i i
��Z v
i ZTZi �� ��Zi ��
78
Ekonometria
dr Adam Sojda
Modele wielorównaniowe  podwójna metoda najmniejszych kwadratów
Wariancja odchyleń losowych dla i tego równania szacowana jest ze wzoru:
eTei
2
i
Sie =�
n -� (�h -�1+� f )�
Ocena macierzy wariancji i kowariancji ocen parametrów strukturalnych
szacowanego równania jest następująca:
-�1
��v
iTv
i v
iTZi ł�
bi
�� ł�
2
D2 ę�c ś� =� Sie ę� T
ś�
�� i ��
i i
��Z v
i ZTZi ��
79