Šukasz Czech

1 pa¹dziernika 2012 r.

Algebra liniowa z geometri¡  zestaw nr 1

Zadanie 1 Obliczy¢ dªugo±¢ podanych wektorów:
a) −

→

a = (3, −4, 12)

,

c) −

→

c =

√

3, −

√

5, 2

√

2

,

b)

−

→

b = −

√

7, 5, 7

,

d)

−

→

d = 2

√

2, −4

√

5, 2

√

3

,

e) −

→

e = (% cos ϕ, % sin ϕ, h)

, gdzie % ≥ 0 oraz ϕ, h ∈ R.

Zadanie 2 Wektory −

→

a

i

−

→

b

tworz¡ dwa s¡siednie boki trójk¡ta. Wyrazi¢ ±rodkowe tego

trójk¡ta przez wektory −

→

a

i

−

→

b

.

Zadanie 3 Znale¹¢ wersor −

→

u

, który:

a) le»y w pªaszczy¹nie xOy i tworzy k¡t α z dodatni¡ cz¦±ci¡ osi Ox;

b) tworzy z dodatnimi cz¦±ciami osi Ox, Oy, Oz odpowiednio k¡ty α, β, γ;

c) tworzy jednakowe k¡ty z wektorami −

→

a = (0, 3, −4)

,

−

→

b = (8, 6, 0)

i jest poªo»ony w

pªaszczy¹nie wyznaczonej przez te wektory.

Zadanie 4 Niech X = {x ∈ R : −2 ≤ x ≤ 1 ∨ 2 ≤ x ≤ 5}, Y = {y ∈ R : −3 ≤ y ≤
−1 ∨ 1 ≤ y ≤ 2}

. Narysowa¢ zbiory:

a) X×Y ,

b) Y ×X,

c) A = {(x, y) ∈ R

2

: (x, y) ∈ X×Y ∧ (x, y) ∈ Y ×X}

.

Zadanie 5 Niech K = {k ∈ Z : −2 ≤ k ≤ 3} oraz L = {l ∈ Z : 1 ≤ l ≤ 4}.

a) narysowa¢ zbiory K × L i L × K;

b) wypisa¢ elementy zbioru L × (K ∩ M), gdzie M = {−1, 0, 3, 4}. Czy L × (K ∩ M) =

(L × K) ∩ (L × M )

?

c) sprawdzi¢ czy (K ∩ M) × L = (K × L) ∩ (M × L);

d) sprawdzi¢ czy (K ∪ M) × L = (K × L) ∪ (M × L);

Zadanie 6 Rozwi¡za¢ ukªady równa«:

a)







x +

y +

z =

0

3x −

y + 2z =

1

−x − 4y − 3z = −3

b)







−3x + 3y + 2z =

2

x − 4y − 3z = −4

−2x + 2y + 4z =

8

c)















x + y +

z + t = 3

x − y −

z + t = 3

2x − y + 2z − t = 3

−x + y + 3z + t = 3

d)

 −2x − 3y +

z = 1

−4x − 6y + 2z = 3

e)







−3x + 6y =

0

−x + 2y = −1

−2x + 4y = −3