Šukasz Czech

8 pa¹dziernika 2012 r.

Algebra liniowa z geometri¡ zestaw nr 3

Zadanie 1 Zbada¢, czy podane wektory tworz¡ baz¦ przestrzeni R

3

:

a) v

1

= (−2, 3, 3)

, v

2

= (1, −2, 3)

, v

3

= (4, −2, −3)

;

b) v

1

= (−5, 2, −3)

, v

2

= (2, −3, 4)

, v

3

= (−11, 0, −1)

;

c) v

1

= (−1, 4, 3)

, v

2

= (7, 3, 3)

, v

3

= (−5, 2, −1)

;

d) v

1

= (−1, −1, 1)

, v

2

= (−2, 10, 6)

, v

3

= (2, −1, −3)

;

Zadanie 2 Znale¹¢ wspóªrz¦dne wektora v = (1, −2, −1) w bazie:

a) v

1

= (1, −1, 2)

, v

2

= (1, 1, 2)

, v

3

= (1, −1, −2)

;

b) v

1

= (2, −1, −1)

, v

2

= (−1, 4, −3)

, v

3

= (−3, 2, 0)

;

c) v

1

= (−3, −2, −1)

, v

2

= (1, 2, 4)

, v

3

= (−1, 3, 1)

;

Zadanie 3 Niech b¦dzie dana baza B = (u, v), gdzie u = (1, 2). Dobra¢ wektor v taki,

aby wektor w = (7, −2) miaª w tej bazie wspóªrz¦dne [−5, −4]

B

.

Zadanie 4 Niech b¦dzie dana baza B = (u, v, w), gdzie u = (−1, 1, 2). Dobra¢ wektory
v

oraz w takie, aby wektory s = (1, −4, 5) oraz t = (−7, 14, −11) miaªy w tej bazie

wspóªrz¦dne odpowiednio [2, 1, −4]

B

oraz [0, 2, 5]

B

.

Zadanie 5 Znale¹¢ baz¦ przestrzeni generowanej przez wektory:

a) v

1

= (−5, 2, −3)

, v

2

= (2, −3, 4)

, v

3

= (−11, 0, −1)

;

b) v

1

= (−1, 2, 1, −4)

, v

2

= (2, −7, −2, 5)

, v

3

= (−3, 9, 3, −9)

;

Zadanie 6 Sprawdzi¢, czy nast¦puj¡ce podzbiory przestrzeni R

n

s¡ podprzestrzeniami wek-

torowymi. Je±li tak, to wyznaczy¢ bazy i okre±li¢ wymiary tych podprzestrzeni:

a) U = {(x, y, z) ∈ R

3

:

x − 3y + 2z = 0}

;

b) U = {(x, y, z, t) ∈ R

4

:

x − 2t = 0;

z + y = 0}

;

c) U = {(x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) ∈ R

4

:

x

1

+ x

2

− x

3

− x

4

= 0;

2x

2

− x

4

= 0;

3x

1

− 3x

3

= 0}

;

d) U = {(x, y, z) ∈ R

3

:

x + y = 1;

y + z = 1;

x + z = 1}

;

e) U = {(x, y, z, t) ∈ R

4

:

2x + y − 2 = 0;

t − 2z + 2 = 0}

;

f) U = {(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) ∈ R

n

:

[x

1

+ x

3

+ . . . + x

n−1

= 0

∧

x

2

+ x

4

+ . . . + x

n

=

0

dla n parzystego] ∨ [x

1

+ x

3

+ . . . + x

n

= 0

∧

x

2

+ x

4

+ . . . + x

n−1

=

0

dla n nieparzystego]};