Šukasz Czech

15 pa¹dziernika 2012 r.

Algebra liniowa z geometri¡ zestaw nr 4

Zadanie 1 Niech V b¦dzie przestrzeni¡ wektorow¡, A = {v

1

, . . . , v

k

}

ukªadem liniowo

niezale»nych wektorów tej przestrzeni oraz v ∈ V wektorem ró»nym od wektorów v

i

dla

i ∈ {1, . . . , k}

. Udowodnij, »e A ∪ {v} jest ukªadem liniowo niezale»nym wtedy i tylko

wtedy gdy v /∈ lin A.

Zadanie 2 Dana jest baza B = {v

1

, v

2

, v

3

, v

4

}

przestrzeni R

4

. Wektor w = [2, 1, 0, −1]

B

.

Czy podane wektory:

a) (v

1

, w, v

2

, v

3

)

,

b) (v

1

, v

2

, w, v

4

)

,

c) (v

2

, v

3

, v

4

, w)

,

d) (v

3

, v

1

, w, v

4

)

,

stanowi¡ baz¦ przestrzeni R

4

?

Zadanie 3 Niech B = (v

1

, v

2

, v

3

)

b¦dzie baz¡ w R

3

. Wiadomo, »e u

1

= [2, −1, 0]

B

, u

2

=

[−1, 2, −1]

B

, u

3

= [1, −1, −1]

B

. Czy wektory u

1

, u

2

, u

3

mo»na przyj¡¢ za baz¦ R

3

? Je»eli

tak, to wyznaczy¢ wspóªrz¦dne wektora w w tej bazie, wiedz¡c, »e w = [1, 2, 1]

B

.

Zadanie 4 Udowodni¢ nast¦puj¡ce zale»no±ci:

a) lin (lin A) = lin A;

b) lin A ∪ lin B ⊂ lin (A ∪ B);

c) lin (A ∩ B) ⊂ lin A ∩ lin B;