Łukasz Czech

5 listopada 2012 r.

Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 7

Zadanie 1 Rozważyć następujące problemy:

a) Jak zmieni się wyznacznik n-tego stopnia jeżeli jego wiersze zapiszemy w odwrotnej

kolejności?

b) Jak zmieni się wyznacznik n-tego stopnia jeżeli dwie ostatnie kolumny przestawimy

na początek w kolejności k

n

k

n−1

, a pozostałe kolumny przesuniemy o dwa miejsca

w prawo?

Zadanie 2 Niech A = [a

ik

]

n×n

(n ­ 2) oraz a

ik

∈ {−k, k}, dla k ∈ Z. Udowodnić, że

det A jest liczbą parzystą.

Zadanie 3 Udowodnić, że jeśli macierz A jest skośnie symetryczna (tzn. A

T

= −A) oraz

jej stopień jest liczbą nieparzystą, to det A = 0.

Zadanie 4 Wykazać, że dla macierzy skośnie symetrycznej czwartego stopnia zachodzi
det A = (a

12

a

34

− a

13

a

24

+ a

14

a

23

)

2

.

Zadanie 5 Wyznaczyć wszystkie minory stopnia 3 dla macierzy:

A =











2 −1

0

5

3 −2

−2

7

6

0 −1 −1











B =








0 −4

8 −2

−2

0

1

0

1

2 −4

1








C =











1

0

0 −7

−3

1 −6

2

4

0 −2

1

−1 −1

0

1











Zadanie 6 Wyznaczyć macierze dopełnień algebraicznych dla macierzy:

A =








1 2 −5
0 7 −3

−2 8

1








B =








−3

4 −4

1

2 −3

2 −2

0








C =











−1 3

0

0

1 0 −7 −1

−3 1

2

0

0 0

1

5











Zadanie 7 Korzystając z tw. Laplace’a, obliczyć wyznaczniki macierzy z zadania 6 oraz
tych zamieszczonych poniżej:

A =











a 3 0 5

0 b 0 2
1 2 c 3
0 0 0 d











B =

















1 1 1 3 3 3
0 1 1 3 3 0
0 0 1 3 0 0
0 0 3 1 0 0
0 3 3 1 1 0
3 3 3 1 1 1

















C =

















1

1 · · · · · · · · · 1

1

0

1 · · · · · · 1

1

1

0

1 · · · 1

1

1

1

0 · · · 1

· · · · · · · · · · · ·

. . . ...

1

1

1 · · ·

1 0















