Łukasz Czech

12 listopada 2012 r.

Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 9

Zadanie 1 Zbadać rozwiązalność układów ze względu na parametry. Jeżeli rozwiązanie
istnieje, znaleźć je.

a)



















ax + y +

2z =

−a

−x − y +

2z =

b

2x + y + (a − 1)z = a + 3

b)



















px +

y + z = 4

x +

qy + z = 3

x + 2(q − 1)y + z = 4

c)































x − ky − 3z = 0

mx +

y + 5z = 0

2x + ky +

z = 0

x +

y −

z = 0

d)































x +

y +

z + at = a

3

x +

y + az +

t = a

2

x + ay +

z +

t =

a

ax +

y +

z +

t =

1

e)



















px + py +

(p + 1)z = p

px + py +

(p − 1)z = p

(p + 1)x + py + (2p + 3)z = 1

f)







m

2

x − 2y +

z = m

x − 2y + 2mz =

1

g)



















kx +

y +

z =

1

x + ky +

z = l

2

x +

y + kz = kl

h)







(a − 2)x +

ay +

(a + 2)z =

a + 1

(2a − 4)x + 2ay + (3a − 2)z = 2a − 1

Zadanie 2 W zależności od parametru q określić wymiar przestrzeni generowanej przez
wektory (2, q, −2), (q, 1, −q), (q, 3, q).

Zadanie 3 Dla jakich wartości parametru p wektory v

1

=

p

2

, −p, 1

, v

2

=

p

4

, p

2

, 1

,

v

3

=

p

6

, −p

3

, 1

są liniowo niezależne.

Zadanie 4 Znaleźć bazę w R

3

, w której wektor (0, −1, 2) ma wszystkie współrzędne

równe 1.

Zadanie 5 Wektory u = (1, 0, 0, 2, 1), v = (3, 0, −1, 0, 3), w = (−1, 0, 1, 1, 0) uzupełnić
do bazy przestrzeni R

5

.