ukasz Czech
1 pa¹dziernika 2012 r.
Algebra liniowa z geometri¡ zestaw nr 1
Zadanie 1 Obliczy¢ dªugo±¢ podanych wektorów:
a) −
→
a = (3, −4, 12)
,
c) −
→
c =
√
3, −
√
5, 2
√
2
,
b)
−
→
b = −
√
7, 5, 7
,
d)
−
→
d = 2
√
2, −4
√
5, 2
√
3
,
e) −
→
e = (% cos ϕ, % sin ϕ, h)
, gdzie % ≥ 0 oraz ϕ, h ∈ R.
Zadanie 2 Wektory −
→
a
i
−
→
b
tworz¡ dwa s¡siednie boki trójk¡ta. Wyrazi¢ ±rodkowe tego
trójk¡ta przez wektory −
→
a
i
−
→
b
.
Zadanie 3 Znale¹¢ wersor −
→
u
, który:
a) le»y w pªaszczy¹nie xOy i tworzy k¡t α z dodatni¡ cz¦±ci¡ osi Ox;
b) tworzy z dodatnimi cz¦±ciami osi Ox, Oy, Oz odpowiednio k¡ty α, β, γ;
c) tworzy jednakowe k¡ty z wektorami −
→
a = (0, 3, −4)
,
−
→
b = (8, 6, 0)
i jest poªo»ony w
pªaszczy¹nie wyznaczonej przez te wektory.
Zadanie 4 Niech X = {x ∈ R : −2 ≤ x ≤ 1 ∨ 2 ≤ x ≤ 5}, Y = {y ∈ R : −3 ≤ y ≤
−1 ∨ 1 ≤ y ≤ 2}
. Narysowa¢ zbiory:
a) X×Y ,
b) Y ×X,
c) A = {(x, y) ∈ R
2
: (x, y) ∈ X×Y ∧ (x, y) ∈ Y ×X}
.
Zadanie 5 Niech K = {k ∈ Z : −2 ≤ k ≤ 3} oraz L = {l ∈ Z : 1 ≤ l ≤ 4}.
a) narysowa¢ zbiory K × L i L × K;
b) wypisa¢ elementy zbioru L × (K ∩ M), gdzie M = {−1, 0, 3, 4}. Czy L × (K ∩ M) =
(L × K) ∩ (L × M )
?
c) sprawdzi¢ czy (K ∩ M) × L = (K × L) ∩ (M × L);
d) sprawdzi¢ czy (K ∪ M) × L = (K × L) ∪ (M × L);
Zadanie 6 Rozwi¡za¢ ukªady równa«:
a)
x +
y +
z =
0
3x −
y + 2z =
1
−x − 4y − 3z = −3
b)
−3x + 3y + 2z =
2
x − 4y − 3z = −4
−2x + 2y + 4z =
8
c)
x + y +
z + t = 3
x − y −
z + t = 3
2x − y + 2z − t = 3
−x + y + 3z + t = 3
d)
−2x − 3y +
z = 1
−4x − 6y + 2z = 3
e)
−3x + 6y =
0
−x + 2y = −1
−2x + 4y = −3