Egzamin końcowy z przedmiotu  Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek AiR, 1 sem., r. ak. 2008/2009
"
1. [4p.] Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywej y = 2xe-x/2 dla
x " 0, +").
2. [4p.] a) Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu A(2, 3, 1) względem płaszczyzny o równaniu
x - y + z - 2 = 0.
[2p.] b)Podać przykÅ‚ady macierzy A i B wymiaru 4×3 takich, że R(A) = 2 i R(B) = 3 (obliczyć
rzędy tych macierzy).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] W zależności od parametru a podać liczbę rozwiązań układu równań
Å„Å‚
ôÅ‚ x + y + z = 6
òÅ‚
ax + 4y + z = 5
ôÅ‚
ół
6x + (a + 2)y + 2z = 13
4. [4p.] a) Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji g(x, y) = 4x3 - 2x2y + y2 w ob-
szarze ograniczonym krzywÄ… y = x2 i prostÄ… y = 16.

[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (5, 98)2 + (8, 01)2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] Obliczyć całkę podwójną

"
1
ex/ ydxdy
y2
D
gdzie obszar D ograniczony jest wykresami funkcji y = x2, y = 4 i x = 1, dla x 1.
6. [4p.] a) Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
z = x2 + y2, x2 + y2 = x, x2 + y2 = 2x i z = 0 dla x x2 + y2 2x
Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych sferycznych uogólnionych
dowolnego typu.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
7. *) [dla chętnych] [3p.] Sprawdzić, czy funkcja z = cos2(y - ) spełnia równanie różniczkowe
2
zxx + zxy = 0
8. *) [dla bardzo chętnych] [7p.] Obliczyć całkę

1

"
+ x yey dxdy
3
x+1


Ä„2 3
3
2[3 (Ä„ + 1)2 + - 3 (arc sin y + 1)2 - (arc sin y)2]
D 2 4
Ä„
gdzie obszar D jest ograniczony krzywÄ… y = sin x i prostymi y = 0, x = 0, x = .
2