Egzamin połówkowy z przedmiotu  Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek EiT (gr. 1-7), 1 sem., r. ak. 2008/2009
1. [4p.] Dla jakich wartości parametrów m, k " R funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0 = 0?
Sprawdzić ciągłość funkcji dla pozostałych x " R \ {0}. Jeśli istnieją punkty nieciągłości,
określić ich rodzaj.

Å„Å‚ " x
4-x2
ôÅ‚
arctg 2 - e dla x < -2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
Ä„
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ (x + 2) dla -2 x < 0
ôÅ‚
òÅ‚
2
f(x) =
ôÅ‚
|Ä„ sin(k)| dla x = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ x
1 2 - 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ół · dla x > 0
1
m2 2 + 1
x
2. [4p.] a) Wyznaczyć pochodną funkcji


x
a
f(x) = 2 ln sin
b
n!
2
n! - 2
gdzie a jest rozwiązaniem równania 22x + 2x = 20, natomiast b = lim .
n"
n! + 3
[2p.] b) Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej wyprowadzić wzór na po-
chodnÄ… y = log x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 + ln x
3. [4p.] a) Wyznaczyć równanie normalnej do wykresu funkcji g(x) = w punkcie będącym
ex
jej punktem przegięcia.
2009
[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia ln .
2008
4. [4p.] Obliczyć całki
2

ln x
a) cos(ln x)dx b) " dx
3
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] a) Obliczyć całkę
"

3
2 - 3x dx
"
2 - 3x - 8

f (x)
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na dx.
f2(x)
6. [4p.] Obliczyć całki

dx (1 + ex)2
a) b) dx
sin2 x cos4 x 1 + e2x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Obliczyć pochodną funkcji
log x
y = (sin x)(x)