Egzamin połówkowy z przedmiotu  Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek EiT (gr. 1-6), 1 sem., r. ak. 2007/2008
1. [4p.] Wyznaczyć dziedzinę funkcji

arcctg x
f(x) = + 1 - log8(x2 - 7x)
1 - arctg2x

1
2. [4p.] a) Obliczyć granicÄ™ ciÄ…gu lim an · bn - "
, gdzie
n"
cn
2-3n
" " " "
2 2n2 + sin n
4 8 2n
an = 1 - , bn = , cn = 2 · 2 · 2 · . . . · 2
n2 n2 + (-1)n
n2
5 - n + 3
2
[2p.] b) Na podstawie definicji pokazać, że liczba g = jest granicą ciągu an = .
n2
2
+
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 . . . .1. . . . . .
.
3. [4p.] Wyznaczyć wartości parametrów m i k tak, aby podana funkcja była ciągła
Å„Å‚
ôÅ‚ 4 - x2 Ä„
ôÅ‚
ôÅ‚
"
m + dla x < -2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
4
x + 6 - 2
òÅ‚
f(x) =
x(x + 1)
ôÅ‚
ôÅ‚
+ k dla -2 x 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 2
ôÅ‚
ół
1
(Ä„ + ln x) dla x > 0
4
"
x
4. [4p.] a) Dane sÄ… funkcje f (x) = i g(x) = 3x - 1. Znalez
ć (f ć% g) (x) oraz obliczyć
x2 + 1
(f ć% g) (1).
2
[2p.] b) Na podstawie twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej wyprowadzić wzór na pochod-
nÄ… funkcji y = arcsin x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
5. [4p.] a) Wyznaczyć asymptoty funkcji f(x) = x + arcctg x.
x + 2
[2p.] b) Przedstawić interpretację geometryczną ilorazu różnicowego i pochodnej właściwej funk-
cji w punkcie.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
"
3
6. [4p.] Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji y = x2e-x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Obliczyć pochodną funkcji
"
x2
y = (sin 2x)( x)ln