Egzamin poprawkowy z przedmiotu  Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek AiR, 1 sem., r. ak. 2008/2009
1. [7p.] Wyznaczyć wartości parametru k " R, dla których funkcja f(x) jest ciągła
Å„Å‚
1
ôÅ‚ (x - 2)arctg2-x dla x < 2
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
5k2 - 1 dla x = 2
f(x) =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 1
ół
x-2
5- dla x > 2
1 + ln x
2. [7p.] a) Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji g(x) = w punkcie, w którym
ex
osiąga ona wartość ekstremalną.
[2p.] b) Korzystając z definicji wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = sin 2x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [7p.] Obliczyć całki ( w punkcie b) zbadać zbieżność)
1
dx e3xdx
a) b)
8 - 4 sin x + 7 cos x 1 + e2x
-"
4. [7p.] a) Wyznaczyć macierz X z równania (1AX-1)-1 - B = X, gdzie
3
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 1 1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A-1 = 1 1 0 , BT = 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 0 1 -1
[2p.] b) Podać i zilustrować na przykładach cztery własności wyznaczników.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [7p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = ex-y(x2 - 2y2).

3
[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (2, 01)3 + 117, 1.
"
6. [7p.] a) Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = 1- x2 + y2 i z = 3-x2 -y2.
Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych sferycznych dowolnego typu.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [5p.] Napisać równanie parametryczne prostej o równaniu krawędziowym
Å„Å‚
òÅ‚
x + y - 2z = 1
ół
2x - y + z = 2