Egzamin połówkowy z przedmiotów
 Matematyka elementarna i  Analiza matematyczna I
WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2011/2012
1. [7p.] a) Sprawdzić, dla jakich argumentów x istnieje funkcja odwrotna do
f(x) = 3 sin (2x - Ä„) + 1
Następnie wyznaczyć f-1 oraz jej dziedzinę i przeciwdziedzinę.
[2p.] b) Uzasadnić, że złożenie dwóch funkcji malejących jest funkcją rosnącą.
ln an
2. [7p.] a) Obliczyć granicę ciągu lim , gdzie
Ä„bn
n"
sin
2

"
2n - 1 5n-1
n
an = , bn = 1 + 5-n + 5n + 52n
2n + 3
en
[2p.] b) Przedstawić ciąg o wyrazie ogólnym an = w postaci rekurencyjnej.
n!
3. [7p.] Wyznaczyć wartości parametrów k, m " R tak, aby funkcja h(x)

Å„Å‚
sin |x|
ôÅ‚
ôÅ‚ "
arctg dla x < 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
3x
ôÅ‚
òÅ‚
"
Ä„
h(x) =
(1 - k2 - 1) dla x = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ x-1
ół
1
x2
e - m dla x > 0
Ä„
była ciągła dla dowolnej liczby rzeczywistej.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2xw
4. [7p.] a) Wyznaczyć styczną do wykresu funkcji f(x) = xcos(Ąx) w punkcie o rzędnej x0 = ,
5
gdzie xw jest pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli y = -x2 + 5x - 6.
1
[2p.] b) WykorzystujÄ…c różniczkÄ™ zupeÅ‚nÄ… funkcji obliczyć przybliżonÄ… wartość " .
4
80, 7
2
5. [7p.] Znalez
ć asymptoty wykresu funkcji g(x) = - arcctg x.
x3
6. [7p.] a) Wyznaczyć punkty przegięcia wykresu funkcji h(x) = x2 + ln 2x oraz przedziały, w
których jednocześnie funkcja jest rosnąca i posiada wykres wypukły w górę.
[2p.] b) Korzystając z definicji wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = cos 3x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [5p.] Korzystając ze wzoru Taylora przedstawić wielomian
w(x) = x5 + x3 - 1
w postaci sumy potęg dwumianu x + 1.