Egzamin połówkowy z przedmiotu  Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek AiR, 1 sem., r. ak. 2009/2010
1. [4p.] Wyznaczyć wartości parametrów m, k " R tak, aby funkcja f(x) była ciągła dla dowolnego
x " R
Å„Å‚
ôÅ‚
2 sin |2x|
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ · arcctg dla x < 0
ôÅ‚
ôÅ‚
Ä„ x2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ - 1 dla x = 0
k2
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
1-x

f(x) = x
1
ôÅ‚
ôÅ‚
+ cos(m) dla 0 < x 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ Ä„
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
+ 1 dla x > 1
ół
ln |1 - x|
Dla obliczonej nieujemnej wartości parametru k wyznaczyć dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji

2x + 3 Ä„
g(x) = 3 arc sin -
k 2
2. [4p.] Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji h(x) = (sin x)x ln a w punkcie o współrzędnej

Ä„ 2n + 1 5n
x0 = b · , gdzie a = lim , natomiast b jest dodatnim pierwiastkiem równania
n"
2 2n - 1
x2 + 2x - 3 = 0.
[2p.] b) W oparciu o definicję granicy ciągu pokazać, że liczba g = 2 jest granicą ciągu o wyrazie
2n-1
ogólnym an = .
n+2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
"
3
3. [4p.] a) Wyznaczyć ekstrema oraz przedziały, w których funkcja y = x2e-x jest jednocześnie
rosnąca i wypukła w górę.
[2p.] b) Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej wyprowadzić wzór na pochodną
funkcji y = arc sin x.
2
4. [4p.] Obliczyć całki

ln x
"
a) e-xarcctg (ex) dx b) dx
x3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] a) Obliczyć całkę
dx
sin2 x + sin x cos x + 2 cos2 x

[2p.] b) Wyprowadzić wzór rekurencyjny na tgnx dx.

6. [4p.] Obliczyć całkę
eÄ…x sin ²xdx,
gdzie Ä… jest równe kwadratowi skalarnemu wektora = [1, 2], a ² jest promieniem okrÄ™gu o
u
równaniu x2 + y2 - 2x + 4y + 1 = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając z rozwinięcia Taylora przedstawić wielomian
W (x) = x5 - x3 + x - 1
w postaci sumy potęg dwumianu x - 1.