Egzamin poprawkowy z przedmiotu  Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2009/2010
1. [7p.] Wyznaczyć wartości parametru p " R, dla których funkcja f(x) jest ciągła
Å„Å‚
1
x
ôÅ‚ - 1
2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ dla x < 0
1
ôÅ‚
ôÅ‚
x
òÅ‚
2 + 1
f(x) =
2p2 dla x = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
1
ół
x-1
e- dla x > 0
"
a sin x
2. [7p.] Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji h(x) = x w punkcie o współrzędnej
4n2
Ä„ n2
x0 = b2 · , gdzie a = lim ln , natomiast b jest ujemnym pierwiastkiem równania
n"
2 n2 - 1
x2 - 2x - 3 = 0.
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = ctg x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [7p.] Obliczyć całki ( w punkcie b) zbadać zbieżność)
+"

dx ln2 x
a) dx b) dx
5 - 3 cos x x
2
4. [7p.] a) Wyznaczyć macierz X z równania A · X · (40B)-1 = (A-1 · B)-1, gdzie

1 2 2 1
A = , B =
3 -2 1 -2
[2p.] b) Podać i zilustrować na przykładach cztery rodzaje macierzy.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [7p.] a) Znalez
ć funkcję holomorficzną f(z), gdy dana jest jej część rzeczywista
u(x, y) = x2 - y2 + 2x
"
3
[2p.] b) Wyznaczyć -i. Wynik przedstawić na płaszczyz
nie zespolonej.

6. [7p.] a) Obliczyć ln(1+x2+y2)dxdy, gdzie obszar D opisany jest nierównościami: x2+y2 9,
D
x 0 i y 0 . Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych.
7. *) [dla chętnych] [5p.] Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach w punktach A(1, -1, 3), B(0, 2, -2)
i C(4, 2, 0).