Egzamin poprawkowy z przedmiotu  Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek IBM, 1 sem., r. ak. 2008/2009
1. [7p.] Zbadać ciągłość funkcji. Podać rodzaje punktów nieciągłości, o ile takie punkty istnieją.
Å„Å‚
x
ôÅ‚ arcctg1-x dla x < 1
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
0 dla x = 1
f(x) =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 1
ół
1-x
2 dla x > 1
1
2. [7p.] a) Wyznaczyć asymptoty i ekstrema funkcji g(x) = arctg x + .
x
[2p.] b) Korzystając z definicji wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = x2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [7p.] Obliczyć całki ( w punkcie b) zbadać zbieżność)
"

arctg x
a) xe-2xdx b) dx
1 + x2
0
4. [7p.] a) Rozwiązać układ równań
Å„Å‚
ôÅ‚ - 2y + 3z = 9
x
òÅ‚
x - y + z = 4
ôÅ‚
ół
-x - y + 2z = 4
[2p.] b) Podać i zilustrować na przykładach cztery własności wyznaczników.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [7p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = x3 + y3 - 3xy + 15.

3
[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (2, 01)3 + 117, 1.
6. [7p.] a) Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

x2 + y2 + z2 = 2z (z 1) i z = x2 + y2
Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [5p.] Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P (1, 0, -2) i
równoległej do dwóch wektorów = [1, 2, 1] i = [0, 1, -2].
n1 n2