Egzamin poprawkowy z przedmiotu  Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek IBM, 1 sem., r. ak. 2009/2010
1. [7p.] Wyznaczyć wartości parametru k " R, dla których funkcja f(x) jest ciągła
Å„Å‚
ôÅ‚ x3 - 1
òÅ‚
dla x = 1

1 - x,
f(x) =
ôÅ‚
ół
6k2 - k - 5 dla x = 1
"
2. [7p.] Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji h(x) = ( ax)cos x w punkcie o współrzędnej

Ä„ n + 2 5n
x0 = , gdzie a = lim ln , natomiast b jest równe długości wektora = [2, 0].
u
n"
b n - 3
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = tg x.
3. [7p.] Obliczyć całki ( w punkcie b) zbadać zbieżność)
+"

dx ln2 x
a) b) dx
3 + 2 sin x x
2
4. [7p.] a) Wyznaczyć macierz X z równania A · X · (40B)-1 = (A-1 · B)-1, gdzie

1 2 2 1
A = , B =
3 -2 1 -2
[2p.] b) Podać i zilustrować na przykładach cztery rodzaje macierzy.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [7p.] a) Znalez
ć funkcję holomorficzną f(z), gdy dana jest jej część rzeczywista
u(x, y) = x2 - y2 + 2x
"
3
[2p.] b) Wyznaczyć -i. Wynik przedstawić na płaszczyz
nie zespolonej.

6. [7p.] a) Obliczyć ln(1+x2+y2)dxdy, gdzie obszar D opisany jest nierównościami: x2+y2 9,
D
x 0 i y 0 . Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych.
7. *) [dla chętnych] [5p.] Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach w punktach A(1, -1, 3), B(0, 2, -2)
i C(4, 2, 0).