Egzamin poprawkowy z przedmiotu  Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2008/2009
1. [7p.] Zbadać ciągłość funkcji. Podać rodzaje punktów nieciągłości, o ile takie punkty istnieją.
Å„Å‚
1
ôÅ‚
ôÅ‚
dla x < 2
ôÅ‚
1
ôÅ‚
òÅ‚
x-2
1 + 4
f(x) =
|x
ôÅ‚ - 2| dla 2 x 4
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
log2(x - 4) dla x > 4
ln 2x
2. [7p.] a) Wyznaczyć asymptoty i punkty przegięcia funkcji g(x) = .
x
[2p.] b) Korzystając z definicji wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = x2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [7p.] Obliczyć całki ( w punkcie b) zbadać zbieżność)
"

arctg x
a) (2 - x2)e3xdx b) dx
1 + x2
0
4. [7p.] a) Rozwiązać układ równań
Å„Å‚
ôÅ‚ - 16y = -5
3x
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 3x + 2y = 4
òÅ‚
x - 4y = -1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
7x + 10y = 12
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
5x + 6y = 8
[2p.] b) Podać i zilustrować na przykładach cztery własności wyznaczników.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [7p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = x3 + y3 - 3xy + 15.

3
[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (2, 01)3 + 117, 1.
6. [7p.] a) Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
x2 + y2 = z2 i x2 + y2 = 2y
Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [5p.] Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P (1, 0, -2) i
równoległej do dwóch prostych
x - 1 y z + 3 x + 1 y - 2 z
= = i = =
2 1 -2 5 1 1