Egzamin połówkowy z przedmiotów
 Matematyka elementarna i  Analiza matematyczna I
WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2011/2012
1. [7p.] a) Sprawdzić, dla jakich argumentów x istnieje funkcja odwrotna do
f(x) = 5 ctg(Ä„ - 3x) - 1
Następnie wyznaczyć f-1 oraz jej dziedzinę i przeciwdziedzinę.
[2p.] b) Uzasadnić, że złożenie funkcji rosnącej i funkcji malejącej jest funkcją malejącą.
arcctg an
2. [7p.] a) Obliczyć granicę ciągu lim , gdzie
n"
Ä„bn
"
n+1

2 n2
"
an = , bn = ln(n2 + 2) - ln(n2 - 1)
n
2 3
(n + 1)!
[2p.] b) Przedstawić ciąg o wyrazie ogólnym an = w postaci rekurencyjnej.
Ä„2n
3. [7p.] Wyznaczyć wartości parametrów k, m " R tak, aby funkcja h(x)
Å„Å‚
ôÅ‚
4 - x2 Ä„
ôÅ‚
"
ôÅ‚ k + dla -6 x < -2
ôÅ‚
4
ôÅ‚
ôÅ‚ x + 6 - 2
ôÅ‚
òÅ‚
x(x + 1)
h(x) =
+ arctg m dla -2 x 0
ôÅ‚
ôÅ‚ 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
1
ół
arcctg (Ä„ + ln x) dla x > 0
4
była ciągła dla dowolnej liczby rzeczywistej.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [7p.] a) Wyznaczyć normalną do wykresu funkcji f(x) = xln x w punkcie o rzędnej x0, będącej
rozwiązaniem równania log1 (log2 (ln x)) = -1.
2
[2p.] b) Wykorzystując różniczkę zupełną funkcji obliczyć przybliżoną wartość e-0,0007.

1
5. [7p.] Znalez
ć asymptoty wykresu funkcji g(x) = x + arcctg x.
x + 1
2 + ln x
6. [7p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji h(x) = oraz przedziały, w których jednocześnie
x2
funkcja jest rosnąca i posiada wykres wypukły w dół.
1
[2p.] b) Korzystając z definicji wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .sin 3x. . . . . . . . . . . . .
. . . . .
7. *) [dla chętnych] [5p.] Korzystając ze wzoru Taylora przedstawić wielomian
w(x) = 5x5 + 4x4 + 3x3 + 2x2 + x
w postaci sumy potęg dwumianu x - 1.