Badanie drgań tłumionych

Ćwiczenie nr 5

Opis teoretyczny

Drganiami harmonicznymi prostymi nazywamy drgania odbywające się pod wpływem siły F, proporcjonalnej do wychylenia x, lecz przeciwnie skierowanej

F=-kx (1)

Jeżeli drgania dowolnego ciała odbywają się w ośrodku lepkim (gaz, ciecz), to wskutek występowania siły oporu ośrodka, którą nazywamy siłą tłumienia F_t drgania zanikają. W przypadku małych prędkości można przyjąć, że siła ta jest proporcjonalna do prędkości kątowej i skierowana przeciwnie do kierunku prędkości. Zatem:

Współczynnik proporcjonalności b nazywamy współczynnikiem oporu.

Uwzględniając działanie siły (1) i (2) możemy zgodnie z II zasadą dynamiki napisać:

Wprowadzając oznaczenia:

gdzie ω₀ jest częstością drgań nie tłumionych, a β stałą tłumienia,

możemy równanie (3) zapisać w postaci:

Jest to równanie różniczkowe ruchu harmonicznego tłumionego.

W przypadku drgań słabo tłumionych rozwiązaniem równania jest następujące wyrażenie:

gdzie:

spełnia rolę amplitudy drgania tłumionego, która maleje wykładniczo w czasie i to tym szybciej im większy jest współczynnik tłumienia β.

Drgania tłumione są drganiami okresowymi, a ich częstość wyraża się wzorem

, gdzie ω₀ oznacza częstość kołową drgań własnych, z którą układ drgałby swobodnie przy braku oporów ośrodka.

Wielkością charakteryzującą drgania tłumione jest tzw. logarytmiczny dekrement tłumienia λ oraz współczynnik tłumienia β. Współczynnik tłumienia możemy wyznaczyć pośrednio z wykresu drgań tłumionych odczytując czas relaksacji τ; czas w ciągu którego amplituda drgań maleje e-krotnie (e - podstawa logarytmu naturalnego). Amplituda maleje e razy, tzn.:

a więc:

Logarytmiczny dekrement tłumienia możemy wyznaczyć ze stosunku dwóch kolejnych amplitud w chwili t i t+T, gdzie T oznacza okres drgań.

skąd:

Jeśli przez N oznaczymy liczbę drgań, po wykonaniu których amplituda maleje do 1/e wartości początkowej i dzieje się to w czasie τ=NT, to ze wzorów (9) i (11) otrzymamy zależność:

A zatem logarytmiczny dekrement tłumienia jest również wielkością fizyczną równą odwrotności liczby drgań, po upływie których amplituda zmniejsza się e-krotnie.

Opracowanie wyników pomiarów

Aby sporządzić wykresy zależności amplitudy A od czasu t trzeba wyznaczyć okres drgań, który wyznaczamy z czasu 30 wahnięć, który wynosi 35,21 s. Wynika z tego, iż okres jednego wahnięcia T wynosi 1,17s

a) Obliczam czasy wahnięć dla położenia równoległego styropianu bez dodatkowej masy.

t=Lp*2*T (Lp - numer pomiaru, T- okres jednego wahnięcia)

Lp	Czas	Amplituda	ln A
1	2,34	29	3,367296
2	4,68	28	3,332205
3	7,02	27	3,295837
4	9,36	25	3,218876
5	11,7	24	3,178054
6	14,04	23	3,135494
7	16,38	22	3,091042
8	18,72	21	3,044522
9	21,06	20	2,995732
10	23,4	19	2,944439
11	25,74	19	2,944439
12	28,08	18	2,890372
13	30,42	18	2,890372
14	32,76	17	2,833213
15	35,1	16	2,772589
16	37,44	15	2,70805
17	39,78	15	2,70805
18	42,12	14	2,639057
19	44,46	14	2,639057
20	46,8	13	2,564949
21	49,14	13	2,564949
22	51,48	12	2,484907
23	53,82	12	2,484907
24	56,16	11	2,397895
25	58,5	10	2,302585
26	60,84	10	2,302585
27	63,18	10	2,302585
28	65,52	9	2,197225
29	67,86	9	2,197225
30	70,2	9	2,197225
31	72,54	9	2,197225
32	74,88	8	2,079442
33	77,22	8	2,079442
34	79,56	8	2,079442
35	81,9	8	2,079442
36	84,24	7	1,94591
37	86,58	7	1,94591
38	88,92	7	1,94591
39	91,26	6	1,791759
40	93,6	6	1,791759
41	95,94	6	1,791759
42	98,28	6	1,791759
43	100,62	5	1,609438
44	102,96	5	1,609438
45	105,3	5	1,609438
46	107,64	5	1,609438
47	109,98	5	1,609438
48	112,32	5	1,609438
49	114,66	5	1,609438
50	117	4	1,386294
51	119,34	4	1,386294
52	121,68	4	1,386294
53	124,02	4	1,386294
54	126,36	4	1,386294
55	128,7	4	1,386294
56	131,04	3	1,098612
57	133,38	3	1,098612
58	135,72	3	1,098612
59	138,06	3	1,098612
60	140,4	3	1,098612
61	142,74	3	1,098612
62	145,08	3	1,098612
63	147,42	2	0,693147
64	149,76	2	0,693147
65	152,1	2	0,693147
66	154,44	2	0,693147
67	156,78	2	0,693147
68	159,12	2	0,693147
69	161,46	2	0,693147
70	163,8	1	0
71	166,14	1	0
72	168,48	1	0
73	170,82	1	0
74	173,16	1	0
75	175,5	1	0
76	177,84	1	0
77	180,18	1	0
78	182,52	1	0
79	184,86	1	0
80	187,2	1	0

Wykresy przedstawiono na rysunku 1 i 2.

2. Obliczam czasy wahnięć dla położenia prostopadłego styropianu bez dodatkowej masy.

Lp	Czas	Amplituda	ln A
1	2,34	26	3,258097
2	4,68	16	2,772589
3	7,02	12	2,484907
4	9,36	9	2,197225
5	11,7	8	2,079442
6	14,04	6	1,791759
7	16,38	5	1,609438
8	18,72	4	1,386294
9	21,06	3	1,098612
10	23,4	3	1,098612
11	25,74	2	0,693147
12	28,08	2	0,693147
13	30,42	2	0,693147
14	32,76	1	0
15	35,1	1	0
16	37,44	1	0
17	39,78	1	0
18	42,12	1	0
19	44,46	1	0

Wykresy znajdują się na rysunku 3 i 4.

c) Obliczam czasy wahnięć dla położenia równoległego styropianu z dodatkową masą.

Lp	Czas	Amplituda	ln A
1	2,34	29	3,367296
2	4,68	28	3,332205
3	7,02	27	3,295837
4	9,36	26	3,258097
5	11,7	25	3,218876
6	14,04	25	3,218876
7	16,38	24	3,178054
8	18,72	23	3,135494
9	21,06	23	3,135494
10	23,4	22	3,091042
11	25,74	21	3,044522
12	28,08	21	3,044522
13	30,42	20	2,995732
14	32,76	20	2,995732
15	35,1	19	2,944439
16	37,44	19	2,944439
17	39,78	18	2,890372
18	42,12	18	2,890372
19	44,46	18	2,890372
20	46,8	17	2,833213
21	49,14	17	2,833213
22	51,48	16	2,772589
23	53,82	16	2,772589
24	56,16	16	2,772589
25	58,5	15	2,70805
26	60,84	15	2,70805
27	63,18	15	2,70805
28	65,52	14	2,639057
29	67,86	14	2,639057
30	70,2	14	2,639057
31	72,54	13	2,564949
32	74,88	13	2,564949
33	77,22	13	2,564949
34	79,56	13	2,564949
35	81,9	12	2,484907
36	84,24	12	2,484907
37	86,58	12	2,484907
38	88,92	12	2,484907
39	91,26	11	2,397895
40	93,6	11	2,397895
41	95,94	11	2,397895
42	98,28	11	2,397895
43	100,62	11	2,397895
44	102,96	10	2,302585
45	105,3	10	2,302585
46	107,64	10	2,302585
47	109,98	10	2,302585
48	112,32	9	2,197225
49	114,66	9	2,197225
50	117	9	2,197225
51	119,34	9	2,197225
52	121,68	9	2,197225
53	124,02	9	2,197225
54	126,36	9	2,197225
55	128,7	8	2,079442
56	131,04	8	2,079442
57	133,38	8	2,079442
58	135,72	8	2,079442
59	138,06	8	2,079442
60	140,4	8	2,079442
61	142,74	8	2,079442
62	145,08	8	2,079442
63	147,42	7	1,94591
64	149,76	7	1,94591
65	152,1	7	1,94591
66	154,44	7	1,94591
67	156,78	7	1,94591
68	159,12	7	1,94591
69	161,46	7	1,94591
70	163,8	7	1,94591
71	166,14	6	1,791759
72	168,48	6	1,791759
73	170,82	6	1,791759
74	173,16	6	1,791759
75	175,5	6	1,791759
76	177,84	6	1,791759
77	180,18	6	1,791759
78	182,52	6	1,791759
79	184,86	6	1,791759
80	187,2	6	1,791759
81	189,54	5	1,609438
82	191,88	5	1,609438
83	194,22	5	1,609438
84	196,56	5	1,609438
85	198,9	5	1,609438
86	201,24	5	1,609438
87	203,58	5	1,609438
88	205,92	5	1,609438
89	208,26	5	1,609438
90	210,6	5	1,609438
91	212,94	5	1,609438
92	215,28	5	1,609438
93	217,62	5	1,609438
94	219,96	4	1,386294
95	222,3	4	1,386294
96	224,64	4	1,386294
97	226,98	4	1,386294
98	229,32	4	1,386294
99	231,66	4	1,386294
100	234	4	1,386294
101	236,34	4	1,386294
102	238,68	4	1,386294
103	241,02	3	1,098612
104	243,36	3	1,098612
105	245,7	3	1,098612
106	248,04	3	1,098612
107	250,38	3	1,098612
108	252,72	3	1,098612
109	255,06	3	1,098612
110	257,4	3	1,098612
111	259,74	3	1,098612
112	262,08	3	1,098612
113	264,42	3	1,098612
114	266,76	3	1,098612
115	269,1	3	1,098612
116	271,44	3	1,098612
117	273,78	3	1,098612
118	276,12	3	1,098612
119	278,46	3	1,098612
120	280,8	3	1,098612
121	283,14	3	1,098612
122	285,48	3	1,098612
123	287,82	3	1,098612
124	290,16	2	0,693147
125	292,5	2	0,693147
126	294,84	2	0,693147
127	297,18	2	0,693147
128	299,52	2	0,693147
129	301,86	2	0,693147
130	304,2	2	0,693147
131	306,54	2	0,693147
132	308,88	2	0,693147
133	311,22	2	0,693147
134	313,56	2	0,693147
135	315,9	2	0,693147
136	318,24	2	0,693147
137	320,58	2	0,693147
138	322,92	2	0,693147
139	325,26	2	0,693147
140	327,6	2	0,693147
141	329,94	2	0,693147
142	332,28	2	0,693147
143	334,62	1	0
144	336,96	1	0
145	339,3	1	0
146	341,64	1	0
147	343,98	1	0
148	346,32	1	0
149	348,66	1	0
150	351	1	0
151	353,34	1	0
152	355,68	1	0
153	358,02	1	0
154	360,36	1	0
155	362,7	1	0
156	365,04	1	0
157	367,38	1	0
158	369,72	1	0
159	372,06	1	0
160	374,4	1	0
161	376,74	1	0
162	379,08	1	0
163	381,42	1	0
164	383,76	1	0
165	386,1	1	0
166	388,44	1	0
167	390,78	1	0
168	393,12	1	0

Wykresy przedstawione są na rysunku 5 i 6.

d) Obliczam czasy wahnięć dla położenia prostopadłego styropianu z dodatkową masą.

Lp	Czas	Amplituda	ln A
1	2,34	26	3,258097
2	4,68	23	3,135494
3	7,02	20	2,995732
4	9,36	18	2,890372
5	11,7	16	2,772589
6	14,04	15	2,70805
7	16,38	13	2,564949
8	18,72	12	2,484907
9	21,06	11	2,397895
10	23,4	10	2,302585
11	25,74	10	2,302585
12	28,08	9	2,197225
13	30,42	8	2,079442
14	32,76	7	1,94591
15	35,1	7	1,94591
16	37,44	7	1,94591
17	39,78	6	1,791759
18	42,12	6	1,791759
19	44,46	6	1,791759
20	46,8	5	1,609438
21	49,14	5	1,609438
22	51,48	4	1,386294
23	53,82	4	1,386294
24	56,16	4	1,386294
25	58,5	3	1,098612
26	60,84	3	1,098612
27	63,18	3	1,098612
28	65,52	3	1,098612
29	67,86	3	1,098612
30	70,2	3	1,098612
31	72,54	2	0,693147
32	74,88	2	0,693147
33	77,22	2	0,693147
34	79,56	2	0,693147
35	81,9	2	0,693147
36	84,24	2	0,693147
37	86,58	2	0,693147
38	88,92	2	0,693147
39	91,26	1	0
40	93,6	1	0
41	95,94	1	0
42	98,28	1	0
43	100,62	1	0
44	102,96	1	0
45	105,3	1	0
46	107,64	1	0
47	109,98	1	0
48	112,32	1	0
49	114,66	1	0
50	117	1	0
51	119,34	1	0
52	121,68	1	0

Wykresy przedstawione są na rysunku 7 i 8.

Następnie obliczamy czas relaksacji τ. Aby to uczynić badamy różnicę czasów t₂-t₁, dla których lnA jest równe odpowiednio: 2, 1 oraz 3, 2. Korzystamy więc z rysunków parzystych.

Obliczamy także β i λ korzystając ze wzorów (9) i (11), czyli:

Tabela I.

	τ	β	λ
Ustawienie równoległe bez masy	63,18	0,015828	0,037037
Ustawienie prostopadłe bez masy	11,7	0,08547	0,2
Ustawienie równoległe z masą	130,23	0,00775	0,018136
Ustawienie prostopadłe z masą	32,76	0,031994	0,074866

Masa wahadła ma na pewno wpływ na współczynnik tłumienia β. Wynika to ze wzoru (4), a dokładnie z:

Czyli masa m wahadła zależy odwrotnie proporcjonalnie do współczynnika tłumienia β. Im ta masa wahadła jest większa, tym z większą dokładnością możemy wyznaczyć współczynnik tłumienia β. Dokładnie to widać w tabeli I

Ocena błędów oraz wnioski

Błędy powstawały pod wpływem kilku czynników. Po pierwsze dokładność skali na kątomierzu, która wynosiła tylko 1­⁰. Miało to dosyć duży wpływ na badania. Na pewno duży wpływ miała niedokładność ludzkiego oka oraz jego zmęczenie pod wpływem ciągłych pomiarów w krótkim czasie. Wpływ miało także odczytywanie co drugiego wychylenia,

Naszym zadaniem jest policzenie błędów metodą różniczki zupełnej dla β oraz λ.

Najpierw policzymy błąd dla współczynnika tłumienia β.

a ) Ustawienie równoległe bez masy

b) Ustawienie prostopadłe bez masy

3. Ustawienie równoległe z masą

4. Ustawienie prostopadłe z masą

A teraz błąd dekrementu tłumienia λ

a ) Ustawienie równoległe bez masy

b) Ustawienie prostopadłe bez masy

3. Ustawienie równoległe z masą

4. 
   Ustawienie prostopadłe z masą

W naszym doświadczeniu mogliśmy zaobserwować drgania tłumione. Wynikiem badań jest m.in. to, iż amplituda zależy od czasu wykładniczo.

Wyznaczyliśmy także dekrement tłumienia oraz współczynnik tłumienia, wartości charakterystyczne dla drgań tłumionych.

Wykazaliśmy także, że masa wahadła wpływa na współczynnik tłumienia β.

10

19.11.1999

dr T. Biernat

Marcin Grześczyk

I rok „bis” - Fizyka

(8)

(10)

(11)

(12)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(9)

---