Parametry pola grawitacyjnego

Siła $\overrightarrow{F} = - G\frac{\text{Mm}}{r^{2}}\overrightarrow{r_{0}}$

Natężenie $\overrightarrow{E} = \frac{\overset{\rightarrow}{F}}{m} = - G\frac{M}{r^{2}}\overrightarrow{r_{0}}$

Praca $dW = \overrightarrow{F}\overrightarrow{\text{dr}}$= $\overrightarrow{F}(r)\overrightarrow{\text{dr}}$

W=$\int_{r_{A}}^{r_{B}}{\overrightarrow{F}\left( r \right)\overrightarrow{\text{dr}}} = \int_{r_{A}}^{r_{B}}{G\frac{\text{Mm}}{r^{2}}\overrightarrow{r_{0}}\overrightarrow{\text{dr}} = - GMm}\left\lbrack - \frac{1}{r} \right\rbrack_{r_{A}}^{r_{B}} = GMm\left( \frac{1}{r_{B}} - \frac{1}{r_{A}} \right)$

Energia potencjalna

Ep=$W_{r \rightarrow \infty} = \int_{r}^{\infty}{\overrightarrow{F}\overrightarrow{\text{dr}}}$ Ep=$- \text{GMm}\frac{1}{r}$

Potencjał

$v = \frac{\text{Ep}}{m} = \frac{\int_{r}^{\infty}{\overrightarrow{F}\overrightarrow{\text{dr}}}}{m} = \int_{r}^{\infty}{\overrightarrow{E}\overrightarrow{\text{dr}}}$ $v = - \frac{\text{GMm}}{\text{rm}} = - \frac{\text{GM}}{r}$

Natężenie pola grawitacyjnego

Na zewnątrz r>R

L=$_{}^{}{\overrightarrow{E}\overrightarrow{\text{ds}}} = -_{}^{}{Eds = - E_{}^{}{ds = - 4\pi r^{2}}}$

P=−4πGM

E=$\frac{\text{GM}}{r^{2}}$ $\overrightarrow{E} = - \frac{\text{GM}}{r^{2}}\overrightarrow{r_{0}}$

wewnątrz R>r

L=$_{}^{}{\overrightarrow{E}\overrightarrow{\text{ds}}} = -_{}^{}{Eds = - E_{}^{}{ds = - 4\pi r^{2}}}$

P=$- 4\text{πGM}\left( r \right) = - 4\text{πGρv}\left( r \right) = - 4\text{πG}\frac{M}{\frac{4}{3}R^{3}}\frac{4}{3}r^{3}$

E=$\frac{\text{GMr}}{R^{3}}$ $\overrightarrow{E} = - \frac{\text{GMr}}{R^{3}}\overrightarrow{r_{0}}$

Prędkości kosmiczne

$F_{\text{ob}} = F_{G} = > \frac{m{v_{\text{orb}}}^{2}}{r} = \frac{\text{GMm}}{r^{2}}$ $m{v_{\text{orb}}}^{2} = G\frac{\text{Mm}}{r}$

ZZEM E_C1 = E_C2

$\frac{mv^{2}}{2} - \frac{\text{GMm}}{R} = \frac{m{v_{\text{orb}}}^{2}}{2} - \frac{\text{GMm}}{r}$/$\ m{v_{\text{orb}}}^{2} = G\frac{\text{Mm}}{r}$ /$\frac{2}{m}$

$v^{2} = \frac{2GM}{R} - \frac{\text{GM}}{r} = GM\left( \frac{2}{R} - \frac{1}{r} \right)$ $v = \sqrt{\text{GM}\left( \frac{2}{R} - \frac{1}{r} \right)}$

I p.k. $v = \sqrt{\text{GM}\left( \frac{2}{R} - \frac{1}{R} \right)} = \sqrt{\text{GM}\frac{1}{R}} = \sqrt{\text{gR}}$

II p.k. . $v = \sqrt{\text{GM}\left( \frac{2}{R} - \frac{1}{\infty} \right)} = \sqrt{\text{GM}\frac{2}{R}} = \sqrt{2\text{gR}}$

Parametry pola elektrycznego

Siła $\overrightarrow{F} = \frac{\text{Qq}}{{4\pi\varepsilon_{0}\text{εr}}^{2}}\overrightarrow{r_{0}}$

Natężenie $\overrightarrow{E} = \frac{\overset{\rightarrow}{F}}{q} = {\frac{Q}{{4\pi\varepsilon_{0}\text{εr}}^{2}}\overrightarrow{r_{0}}}$

Praca $dW = \overrightarrow{F}\overrightarrow{\text{dr}}$=$\frac{\text{Qq}}{{4\pi\varepsilon_{0}\text{εr}}^{2}}\overrightarrow{r_{0}}\overrightarrow{\text{dr}}$

W=$\int_{r_{A}}^{r_{B}}{\overrightarrow{F}\overrightarrow{\text{dr}}} = \int_{r_{A}}^{r_{B}}{\frac{\text{Qq}}{{4\pi\varepsilon_{0}\text{εr}}^{2}}dr =}\frac{\text{Qq}}{4\pi\varepsilon_{0}\varepsilon}\left\lbrack - \frac{1}{r} \right\rbrack_{r_{A}}^{r_{B}} = \frac{\text{Qq}}{4\pi\varepsilon_{0}\varepsilon}\left( \frac{1}{r_{A}} - \frac{1}{r_{B}} \right)$

Energia potencjalna

Ep=$W_{r \rightarrow \infty} = \int_{r}^{\infty}{\overrightarrow{F}\overrightarrow{\text{dr}}} = q\int_{r}^{\infty}{\overrightarrow{E}\overrightarrow{\text{dr}}}$ Ep=$\frac{\text{Qq}}{4\pi\varepsilon_{0}\text{εr}}$

Potencjał

$v = \frac{\text{Ep}}{q} = \frac{\int_{r}^{\infty}{\overrightarrow{F}\overrightarrow{\text{dr}}}}{q} = \int_{r}^{\infty}{\overrightarrow{E}\overrightarrow{\text{dr}}}$ $v = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\text{εr}}$

Napięcie

$$U_{\text{AB}} = v_{A} - v_{B} = \int_{r_{A}}^{\infty}{\overrightarrow{E}\overrightarrow{\text{dr}}} - \int_{r_{B}}^{\infty}{\overrightarrow{E}\overrightarrow{\text{dr}}} = \int_{r_{A}}^{r_{B}}{\overrightarrow{E}\overrightarrow{\text{dr}}}$$

Prawo Gaussa-całk. strumień pola elekt. przechodzący przez dowolną powierz.

zamkniętą jest wprost propor. do sumarycznego ład. znajdującego się wewnąt.

tej powierz. zamk. $\varnothing =_{}^{}{\overrightarrow{E}\overrightarrow{\text{ds}}} = \frac{1}{\varepsilon_{0}}\sum_{}^{}q$

np. L= $\varnothing =_{}^{}{\overrightarrow{E}\overrightarrow{\text{ds}}} = \iint_{sp1}^{}{\overrightarrow{E}\overrightarrow{\text{ds}}} + \iint_{sp2}^{}{\overrightarrow{E}\overrightarrow{\text{ds}}} + \iint_{\text{sb}}^{}{\overrightarrow{E}\overrightarrow{\text{ds}}} = ES + ES = 2ES$

P=$\ \frac{1}{\varepsilon_{0}}Q = \frac{\text{σS}}{\varepsilon_{0}}$

$E = \frac{\text{σS}}{2\varepsilon_{0}}$ $\overrightarrow{E}$ $= \frac{\text{σS}}{2\varepsilon_{0}}$ $\overrightarrow{n}$

Polaryzacja dielektryczna

$q = q - \frac{q_{0}}{q}\ $ /q = CU₀ = εC₀U₀                  q₀ = C₀U₀

q =  εC₀U₀ − C₀U₀ = C₀U₀(ε−1) = q₀X

q = q₀ + q = q₀ + q₀X

dq = dq₀ + dq₀X

$$\frac{\text{dq}}{\text{ds}} = \frac{\text{dq}_{0}}{\text{ds}} + \frac{q_{0}Xq_{0}X}{\text{ds}}$$

σ = σ₀ + Xσ₀ p= Xσ₀ - wektror polaryz. dielek

D = ε₀E + Xε₀E D = ε₀E(1 + X) $\text{\ \ \ \ \ \ \ }\overrightarrow{D}$=$\varepsilon_{0}\varepsilon\overrightarrow{E}$

Polaryzacja elektronowa i dipolowa

P. elekt. – występ. w subs, których cząst są pod względem elektr tak zbudowane

że położenie śr. ciężkości ład. dodatniego i ujemnego się pokrywają. Mechanizm

ten polega na tym, że pole elekt. przesuwa chmurę elektr powodując rozsunięcie

śr. ciężkości

P.dipol. – występ. w subs, których atomy lub cząst mają własny moment dipolowy

tzn, śr. ciężkości ład. dodatniego i ujemnego nie pokrywają się. Mechanizm ten

polega na tym, że pole elekt. stara się obrócić mom. dipolowe cząst na kierunek pola.

Dielektryki stałe

-elektrety to gr. dielektr o trwałej polaryzacji utrzymującej się miesiące i lata. Klasyczny

elektret składa się z subst. o wydłuż. cząst. i momentach dipolowym skierowanym wzdłuż

tego dipolu

-piezoelektryki to gr. dielektr. w których pod wpływem zewnętrz. naprężeń pojawia się

ład. polaryzacyjny

Ruch ładunku w polu magnetycznym

F_L = F_d $= > qvB = \frac{mv^{2}}{R} = > R = \frac{\text{mv}}{\text{qB}}$

$$2\pi R = vT = > T = \frac{2\pi R}{v} = > T = \frac{2\pi m}{\text{qB}}$$

Cyklotron – cykliczny przyspieszacz jonów $Te = \frac{T}{2} = \frac{\text{πm}}{\text{qB}}$

Pole elektr-przyspiesza cząstkę

Pole magn-zakrzywia tor ruchu cząstki

Efekt Halla – polega na pojawieniu się poprzecznej różnicy potencjałów jeżeli przewodnik

lub półprzewodnik z prądem umieszczony jest w prostopadłym polu magn

$F_{L} = F_{e} = > - evB = - eE = > vB = \frac{U_{h}}{a}$/ $v = \frac{I}{en_{0}S}$

$$U_{H} = \frac{\text{BaI}}{en_{0}S} = \frac{\text{BI}}{en_{0}b}$$

Prawo Biota- Savarta-Laplace

$\overrightarrow{\text{dB}} = \frac{\mu_{0}\text{μI}}{4\pi r^{3}}(\overrightarrow{\text{dl}}$x$\overrightarrow{r})\ /(\overrightarrow{\text{dl}}$x$\overrightarrow{r}) = rdl\sin\alpha$

Np.$\ dB = \frac{\mu_{0}\text{μIdl}\sin\alpha}{4\pi r^{2}} = > B = \int_{0}^{2\pi R}\frac{\mu_{0}\text{μIdl}}{4\pi r^{2}} = \frac{\mu_{0}\mu I2\pi r}{4\pi r^{2}} = \frac{\mu_{0}\mu}{2r}$

Prawo Ampera i prawo Gaussa dla pola magnetycznego

Pr. A

$$\oint_{}^{}{\overrightarrow{H}\ \overrightarrow{\text{dr}} = \sum_{}^{}I}$$

Pr.G

$$d\varnothing = \overrightarrow{B}\overrightarrow{\text{dS}} = B\ dS\cos\alpha$$

$$\varnothing =_{}^{}{\overrightarrow{B}\overrightarrow{\text{dS}}}$$

Moment magnetyczny

$\overrightarrow{p_{m}} = I\overrightarrow{s}$ $I = \frac{q}{t} = \frac{e}{T}$

$$2\pi r = vT = > T = \frac{2\pi r}{v}$$

$$p_{m} = \frac{\text{ev}}{2\pi r}s = \frac{\text{ev}}{2\pi r}2\pi r^{2} = \frac{1}{2}\text{evr}$$

Prawo indukcji Faradaya

Przyczyną powstawania SEM w zjawisku indukcji jest działanie siły Lorentza na poruszające

się ład. wraz z poruszającą się sztabką

F_L = F_e = >evB = eE = >E = vB

$\frac{U}{a} = vB = \frac{\text{dr}}{\text{dt}}B = > U = a\frac{\text{dr}}{\text{dt}}B = \frac{\text{ds}}{\text{dt}}B = \frac{\text{dφ}}{\text{dt}}$

$E = - \frac{\text{dφ}}{\text{dt}}$

Diamagnetyzm – jeżeli atom diamat. o 0 momencie magn. umieścimy w prostopadłym do orbity

polu magn.to pole w przypadku atomu helu zwiększa nam v jednego z elekt., a zmniejsza nam v

drugiego z elekt., a więc w konsekwencji momenty magnet. obu elekt są różne.

p_m = p_m2 − p_m1

Paramagnetyzm – atomy posiadają własny trwały moment magnet. pm≠0. W nieobecności

zewn. pola magn., spowodu tego że momenty magn są rozłożone chaotycznie, a więc

makroskopowe namagnesowanie równa się 0. Umieszczenie paramag. w polu magn

powoduje działanie momentu skręcającego. Zewnętrzne pola magnet. porządkują

ułożenie momentów magnet.

Wł. Ferromagnetyków

-brak proporcjonalności pomiędzy namagnesowaniem, a polem magnesującym

-można zdefiniować podatność magnetyczną dla różnych pól

-temp Curie- powyżej której ferro stają się paramagnetykami

-pętla histerezy

Domenowa teoria

W odpowiednich strukturach materiału istnieją obszary spontanicznego namagn,

lub nasycenia – domeny ferromagn. Momenty magn. atomów tworzących

domenę mają ten sam kierunek i zwrot. W nieobecności zewn. pola magn

domeny magn są tak względem siebie ułożone, że ich wzajemne pola się znoszą

Samoindukcja – zgodnie z pr. BSL indukcja pola magn, wytworzona przez I jest

proporcjonalna B~I ⌀m~B ⌀m~I

⌀m = LI

Współczynnik indukcji solenoidu

$$H_{\infty} = I\frac{N}{l}\ = > B = \mu_{0}\text{μI}\frac{N}{l}$$

$$\varnothing_{1} = BS = \mu_{0}\text{μI}\frac{N}{l}S$$

$$\varnothing = N\varnothing_{1} = \mu_{0}\text{μI}\frac{N^{2}}{l}S$$

$$\varnothing = LI = > L = \mu_{0}\mu\frac{N^{2}}{l}S$$

Energia pola magnetycznego

-en. pola magn obwodu

Energia prądu elekt płynącego w obwodzie o indukcyjności L jest energią p. magn.

d⌀_m = LdI

dW = LIdI

$$W = L\int_{0}^{I}{IdI = \frac{1}{2}LI^{2}}$$

-en. pola magn solenoidu

$$L = \mu_{0}\mu\frac{N^{2}}{l}S$$

$$\frac{1}{2}LI^{2} = W_{m} = \frac{1}{2}\mu_{0}\mu\frac{N^{2}}{l}SI^{2}$$

$$W_{m} = \frac{1}{2}\text{BHv}$$

Załamanie światła

$$n = \frac{c}{v}$$

$$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{c}{n_{1}} \bullet \frac{n_{2}}{c} = \frac{n_{2}}{n_{1}}$$

CWO światła

- przechodzi z oś optycznie gęstszego do oś optycznie rzadszego; kat załam. jest

większy od kąta padania

- kąt padania musi być większy bądź równy kątowi granicznemu