Zadania z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki

Książki:

M. Cieciura, J. Zacharski: „Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym”

T. Gerstenkorn, T. Śródka „Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa”

S. Stasiewicz, Z. Rusnak , U. Siedlecka „Statystyka elementy teorii i zadania”

1. Dysponujemy radarem o jednostajnie obracającej się antenie, której rozwarcie charakterystyki kierunkowej wynosi 18⁰. Obliczyć prawdopodobieństwo wykrycia pojedynczego sygnału radiowego przez ten radar. Zakładamy, że sygnał jest punktowy.

2. W przedziale wagonu są ustawione naprzeciw siebie dwie ławki mające po 5 numerowanych miejsc od 1 do 5. Na ławce I siedzą trzy osoby oznaczone literami A, B, C, a na ławce II siedzą dwie osoby D, E. Iloma różnymi sposobami mogą usiąść pasażerowie, tak aby zawsze dwie osoby siedziały naprzeciw siebie?

3. Alfabet Morse'a składa się z dwóch różnych elementów: kreski i kropki. Ile znaków pisarskich można utworzyć z tych elementów, jeśli każdy znak nie może posiadać więcej niż k miejsc oznaczonych kreskami lub kropkami? Ile różnych znaków można utworzyć, gdy k=5?

4. Ile można utworzyć liczb czterocyfrowych, w których na pierwszym i ostatnim miejscu występuje ta sama cyfra i w których cyfry mogą się powtarzać?

5. Cztery kule białe, cztery czarne i cztery zielone numerujemy i układamy obok siebie w szereg tak, aby każde trzy po sobie następujące kule były różnej barwy. Iloma sposobami można to uczynić?

6. Ile różnych płaszczyzn można poprowadzić w przestrzeni trójwymiarowej przez 4 punkty, nie leżące w jednej płaszczyźnie?

7. W urnie są kule o numerach 1,2,3,4,5. Pobieramy losowo dwie kule bez zwracania. Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy kule o kolejnych rosnących numerach.

8. W urnie znajdują się 3 kule białe i 4 kule czarne. Jakie jest prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia B polegającego na otrzymaniu dwóch kul białych , przy założeniu, że losujemy z urny dwa razy i po pierwszym losowaniu kula nie zostaje zwrócona do urny?

9. W urnie znajdują się 3 kule białe i 4 kule czarne. Wyjmujemy z urny losowo kulę i zatrzymujemy ją, a następnie wyjmujemy drugą kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za drugim razem wyjmiemy kulę czarną, jeśli za pierwszym razem wyjęliśmy białą?

10. W urnie znajduje się 5 kul: 3 czarne i 2 białe. Losujemy z urny kulę, zwracamy ją do urny i dosypujemy jeszcze dwie kule tego samego koloru. Następnie losujemy kulę z urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za drugim razem wyciągniemy kulę czarną?

11. Dwaj myśliwi jednocześnie ujrzeli zająca i jednocześnie strzelili do niego. Zakładając, że dla każdego z myśliwych prawdopodobieństwo zabicia jednym strzałem wynosi 1/3 oblicz jakie jest prawdopodobieństwo zastrzelenia zająca?

12. Stwierdzono, że przy spryskiwaniu drzew owocowych pewnym środkiem ginie 70% gąsienic, natomiast te, które przeżywają uzyskują częściową odporność i przy ponownym spryskaniu ginie tylko 20%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że gąsienica zginie po pierwszym lub drugim spryskaniu?

13. Podać rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje wartości równe sumie oczek na dwóch kostkach. Wykreślić dystrybuantę tak określonej zmiennej losowej.

14. Zorganizowano następującą grę: rzucamy dwiema kostkami; jeżeli suma oczek jest równa 2, otrzymujemy 10zł, jeżeli suma oczek jest równa 3, otrzymujemy 5zł, a w każdym pozostałym przypadku płacimy 1zł. Podać rozkład tej zmiennej losowej.

15. Zmienna losowa X ma dystrybuantę postaci
    . Wyznacz stałą c i gęstość. Oblicz P(-3<X<1).

16. Zmienna losowa X podlega rozkładowi według gęstości danej wzorem

a)obliczyć stałą C.

b)podać dystrybuantę tej zmiennej

c)obliczyć

17. Zmienna losowa X podlega rozkładowi według gęstości danej wzorem

a)obliczyć stałą a.

b)podać dystrybuantę tej zmiennej

c)obliczyć

18. Popyt na pewien towar (w tys. sztuk) w ciągu dnia jest zmienną losową o gęstości

Oblicz prawdopodobieństwo, że popyt dzienny na towar będzie zawarty między 4, a 6 (tys. sztuk).

19. Zmienna losowa dwuwymiarowa (X,Y) ma dystrybuantę F(x,y)

Wyznacz dystrybuanty brzegowe zmiennej losowej X i Y.

20. Korzystając z danych zawartych w tabeli (zmienna losowa X ozn. cenę komputera w zł; Y- liczba awarii komputera w czasie T) znajdź rozkład awarii komputerów kosztujących 7000zł oraz rozkład ceny komputerów mających 4 awarie w ciągu czasu T.

yj xi	0	1	2	3	4	5	Pi.
2		0,01	0,02	0,02	0,06	0,06	0,17
3	0,01	0,02	0,03	0,02	0,05	0,04	0,17
4	0,02	0,03	0,04	0,04	0,04		0,17
5	0,03	0,05	0,05	0,01	0,03		0,17
6	0,04	0,07	0,04	0,01			0,16
7	0,05	0,08	0,03				0,16
p.j	0,15	0,26	0,21	0,1	0,18	0,1	Suma 1

21. Zmienna losowa X ma funkcję prawdopodobieństwa




Znajdź wartość oczekiwaną X.

22. Wyznaczyć medianę i modę zmiennej losowej skokowej X o rozkładzie przedstawionym w tablicy

xk	2	5	7	10
P(X= xk )	1/9	2/9	5/9	1/9

23. Zmienna losowa X ma funkcję prawdopodobieństwa




Znajdź wartość oczekiwaną X.

24. Wyznaczyć medianę i modę zmiennej losowej skokowej X o rozkładzie przedstawionym w tablicy

xk	2	5	7	10
P(X= xk )	1/9	2/9	5/9	1/9

25. Zmienna losowa X ma gęstość:




Znajdź gęstość zmiennej losowej Y=-X

26. Niech f będzie gęstością zmiennej losowej dwuwymiarowej ciągłej (X,Y)




Obliczmy prawdopodobieństwo P(1/4<X<1/2,0<Y<1/2).

27. Zmienna losowa dwuwymiarowa (X,Y) ciągła ma gęstość :






gdzie A jest zbiorem przedstawionym na rysunku obok.

1. 
   Znajdź gęstość brzegową zmiennej losowej Y .

b) Znajdź gęstość warunkową X/Y=1/4

28. Zmienna losowa dwuwymiarowa ma funkcję prawdopodobieństwa określoną w tabeli.

yj xi	-1	0	1
1	1/11	3/11	2/11
3	2/11	1/11	2/11

Sprawdź, czy zmienne X i Y są niezależne.

29. Zmienna losowa X ma funkcję prawdopodobieństwa określoną tabelą:

xk	-2	-1	0	1	2	3
pk	1/8	2/8	1/8	1/8	1/8	2/8

Znajdź wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y=X².

30. Wyznacz medianę i modę zmiennej losowej X o rozkładzie postaci:




31. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma gęstość f(x,y), gdzie A jest zbiorem punktów płaszczyzny (x,y), dla których 0<x<1 i 0<y<2x. Oblicz momenty centralne rzędu drugiego zmiennej losowej dwuwymiarowej.








( z wykładu

M

(m₁₀=2/3, m₀₁=2/3, m₂₀=1/2, m₀₂=2/3, m₁₁=1/2)

32. Niech f będzie gęstością zmiennej losowej dwuwymiarowej ciągłej (X,Y)




Znajdź:

a) współczynnik korelacji zmiennych losowych X iY.

2. regresję I rodzaju cechy Y względem X

3. regresję liniową II rodzaju cechy Y względem X

d) współczynnik determinacji i indeterminacji cech Y względem X.

33. Zmienna losowa dwuwymiarowa skokowa (X,Y) ma funkcję prawdopodobieństwa określoną tabelą:

yj Xi	-3	-1	1	3
-1	0,2	0,01
0	0,03	0,3	0,05	0,02
1	0,02	0,02	0,1	0,03
2			0,07	0,15

Znajdź:

4. regresję I rodzaju cechy Y względem X

5. regresję liniową II rodzaju cechy Y względem X

6. współczynnik determinacji i indeterminacji cech Y względem X.

34. Kurs dolara w kantorach miał rozkład jednostajny w przedziale < 2,90 zł; 3,0zł>. Oblicz prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym kantorze kurs dolara będzie mniejszy od 2,97 zł..

35. Błąd pomiaru odległości od celu za pomocą radaru jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(0m, 100m). Oblicz procent pomiarów tej odległości, których wartość bezwzględna błędu przekroczy 150m.

36. Zmienna losowa dwuwymiarowa (X, Y) ma dwuwymiarowy rozkład normalny N(2;0;3;1;0,6). Jakim wzorem wyraża się gęstość tej zmiennej losowej dwuwymiarowej?

37. Rozmowa telefoniczna jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym i wynosi średnio 15min. Oblicz prawdopodobieństwo, że rozmowa zakończy się przed upływem 12 min. Których rozmów jest więcej, tych które trwają dłużej niż 15 min, czy tych które trwają krócej niż 15 min. ?

38. Prawdopodobieństwo, że pewien zawodnik przekroczy w jednym rzucie 60m wynosi 0,3. Oblicz prawdopodobieństwo, że zawodnik ten w żadnym z 6 rzutów nie przekroczy 60.

39. Prawdopodobieństwo trafienia do celu przy jednym strzale wynosi 0,8. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba trafień w serii składającej się z 25 strzałów.

40. Wadliwość produkcji oporników wynosi 0,015. Oblicz prawdopodobieństwo, że w pudełku liczącym 200 oporników będą dwa wadliwe.

( W obliczeniach wykorzystaj przybliżenie Poissona)

41. Zmienna losowa X podlega rozkładowi N(1,2) .

a) Obliczyć P(|X|<2,4)

b) Wyznaczyć stałą a, tak aby


42.Wyznaczyć medianę zmiennej losowej X o rozkładzie wykładniczym.

43. Wadliwość produktu A wynosi 5%. Z bieżącej produkcji wybrano w sposób losowy 100 sztuk towaru. Oblicz prawdopodobieństwo, że udział wadliwych sztuk w wybranej partii towaru jest większy od 4%.

44. Badano zużycie surowca na jednostkę produktu dla 100 produktów. Otrzymano wyniki

93	32	43	45	67	38	80	28	47	59	60	40	06	36	09	33	27	43	57	50
58	48	65	88	29	45	49	62	63	57	82	64	66	60	22	26	37	54	69	35
21	54	32	83	89	81	44	59	22	81	63	20	87	57	29	64	64	43	36	28
53	84	43	59	87	44	57	95	95	79	31	65	45	41	36	51	55	83	76	60
23	33	60	61	03	31	80	40	68	73	72	81	65	29	59	60	69	33	49	48

1. pogrupuj dane statystyczne w szeregu rozdzielczym przedziałowym w 8 klasach

2. dokonaj graficznej prezentacji danych statystycznych

3. oblicz średnią i odchylenie standardowe za pomocą danych indywidualnych i za pomocą danych pogrupowanych w szeregu. Oblicz błąd tej drugiej metody.

4. Oblicz za pomocą danych pogrupowanych pozostałe charakterystyki położenia i rozproszenia oraz wskaźnik asymetrii.

Zinterpretuj otrzymane wyniki

45. Badano 200 małżeństw ze względu na liczbę dzieci (cecha X populacji). Wyniki badania przedstawione są w szeregu rozdzielczym punktowym

Liczba dzieci i	Liczba małżeństw mających dzieci ni
0	26
1	79
2	50
3	26
4	12
5	4
6	2
7	1
razem	200

Znajdź charakterystyki położenia, rozproszenia i asymetrii. Podaj ich interpretację.

46. Badano zależność między stażem pracy robotników (cecha X), a czasem wykonywania pewnego detalu (cecha Y). Na podstawie próby 20 elementowej otrzymano wyniki

xi	10	2	3	17	20	7	9	18	24	1	15	9	21	9	4	6	2	9	4	3
yi	3,2	5,1	4,2	2,8	2,8	3,7	2,9	2,1	2,3	5	2,8	3	3,1	3,8	3,8	4	4	3	4,3	3

1. Oblicz współczynnik korelacji cech X iY.

2. Wyznacz prostą regresji cechy Y względem X

47. Zakładając, że kwartalne wydatki na reklamę można uznać za cechę o rozkładzie N(m,σ, wylosowano do próby 100 zakładów usługowych i otrzymano następujący rozład wydatków na reklamę:

Kwartalne wydatki (w tys zł)	0-5	5-10	10-15	15-20
Liczba zakładów	10	20	40	30

1. Wyznacz na poziomie ufności 1-=0,96, przedział ufności dla przeciętnych kwartalnych wydatków na reklamę.

2. Jaka będzie dokładność oszacowania, gdy poziom ufności będzie równy 0,9?

48. Zakładamy, że czas pracy żarówek produkowanych w POLAMIE ma rozkład N(750,σ). Na podstawie 16- elementowej próby losowej otrzymano s₂²=2500. Wyznacz 98% przedział ufności dla odchylenia standardowego czasu pracy żarówek.

49. W grupie losowo wybranych osób cierpiących na pewną chorobę zanotowano 60 zgonów. Na poziomie ufności 0,95 zbudować przedział ufności dla współczynnika śmiertelności w tej chorobie . Zinterpretować otrzymany przedział.

50. Rozkład wagi uczniów pierwszych klas szkół podstawowych jest N(m,3kg). Ilu uczniów należy wylosować do próby, aby oszacować przeciętną wagę ucznia I klasy z maksymalnym błędem szacunku 0,5 kg na poziomie ufności (1-)=0,98?

51.Gmina Z liczy 36 500 rodzin. Zakładając schemat losowania bez zwracania, oblicz jaka powinna być właściwa liczebność próby, aby oszacować odsetek rodzin z dziećmi w wieku przedszkolnym, z dokładnością do 5%, na poziomie ufności 0,98%. Na podstawie próby pilotażowej liczącej 300 rodzin, otrzymano, że rodziny takie stanowią 28%.

52. W zakładzie A dla losowo wybranych 10 pracowników otrzymano średni wiek 32 lata i odchylenie standardowe s=4 lata. Zakładając, że wiek pracowników ma rozkład normalny, czy można uważać, że przeciętny wiek pracownika w tym zakładzie jest istotnie wyższy niż 30 lat? Poziom istotności =0,05.

53. Stalowe obręcze są produkowane na dwóch maszynach, A i B. Kontroler jakości zauważa, że obręcze produkowane przez maszynę A mają średnicę istotnie większą od średnicy obręczy produkowanych przez maszynę B. Zakładamy, że rozkład średnic obręczy dla maszyny A i B są: N(m₁,σ₁), N(m₂,σ₂) oraz że σ₁=σ₂. Sprawdź, czy kontroler jakości ma rację , jeśli dla 10 ,losowo wybranych poręczy produkowanych przez maszyne A otrzymano
, a dla 15 obręczy z maszyny B mamy
. Poziom istotności =0,01.

54. Panuje przekonanie, że studenci stacjonarni pewnej uczelni zdają lepiej egzamin ze statystyki niż studenci zaoczni. Wylosowano w tym celu grupę 100 osób na studiach stacjonarnych i okazało się, że wśród nich 35 otrzymało ocenę przynajmniej dobrą. Wśród 100 osób wylosowanych z grupy studentów zaocznych podobna ocenę uzyskało 16 osób. Czy rzeczywiście studenci stacjonarni zdają lepiej egzamin ze statystyki niż zaoczni? Poziom istotności =0,05.

y

1

0

0 1 2 x x

0 1 x

y

2

1

0

---