Cialkoskrypt5

68 2. Statyka płynów

stąd

gPpftly gPpftly

w_d " Q

Z zależności geometrycznych można wyznaczyć odległość pomiędzy Uniami działania sił: ciężaru Q i wyporu W₆

0.3 jq5    ni

a = /-bsin'& = /-b^, sin $ = ----i----+ ...

3!    5!    7!

Na ciało zanurzone i wychylone ze stanu równowagi działa więc moment obrotowy:

M = W_da = Q • a.

Jeżeli kierunek działającego momentu M jest przeciwny do kierunku wychylenia i&, tak jak na rys. 2.5, to mamy równowagę trwałą. W przeciwnym wypadku, czyli gdy kierunek działania momentu jest zgodny z kierunkiem wychylenia, mamy równowagę chwiejną. Charakter równowagi zależy zatem od odległości między środkami ciężkości i wyporu a, mianowicie:

1)    jeżeli a > 0, zachodzi równowaga trwała,

2)    jeżeli a < 0, zachodzi równowaga chwiejna.

W praktyce wygodniej jest jednak posługiwać się parametrem m zamiast a. Wartość parametru m jest odległością punktu metacentrycznego od środka ciężkości. Gdy a > 0, równowaga jest trwała, punkt metacentryczny M leży powyżej środka ciężkości S_c, m > 0. Gdy a < 0, równowaga jest chwiejna, punkt metacentryczny M leży poniżej środka ciężkości S_c, m < 0.

Z zależności geometrycznych oraz uprzednio uzyskanych związków można wyznaczyć wartość odległości metacentrycznej:

a

m =-

sin-6

a

-b,

L

Q = gp₀v_z =>■ rn = — -b,

gdzie V_z jest objętością cieczy wypartej przez zanurzone ciało, a b odległością środka ciężkości S_c od środka wyporu S_w.

2.6, Przykłady obliczeniowe ZADANIE 2.6.1

Dane jest pole jednostkowej siły masowej:

F_x =y²+2ayz + z²; F_y =z²+2bzx + x²; F_z =x²+2cxy+ y².

Sprawdzić, d!a jakich wartości stałych a, b, c płyn będzie się znajdował w stanie równowagi względnej.

Rozwiązanie

Płyn niejednorodny (p = p(x,y,z)), na który oddziałuje pole sił masowych, będzie w równowadze, gdy pole to będzie spełniało warunek:

F -rotF - 0, stąd F_x rotF + F_y rotF + F_z rotF = 0.

Składowe wektora rotF wyznaczymy z operacji rotacji określonej wzorem:

rotF =

i    j    k

dx    dy    dz

F    F    F

x    ^x y    ^x z

dy dz

+ j

'aą

dz dx

dx dy

Wówczas

-    dF    dF

rot _x F =    - —— = 2y + 2cx - 2z - 2bx,

dy dz

-    dF    dF

rot F = ------ = 2ay + 2z - 2x - 2cy,

^y    dz    dx

-    dF    dF

rot_ZF - — ---- - 2bz + 2x - 2y - 2az,

²    dx    dy

Iloczyn

F -rotF = (c + b - l)(xz² - xy²)+ (a + b - l)(zy² -zx²) +

+ (a + c - l)(yx² - z² y)= 0 będzie równy zeru dia dowolnych wartości x, y, z, gdy zajdą następujące równości: c + b-l=0, a+b-l = 0,    a + c-l = 0,

skąd wynika, że a = b = c = l/2.

ZADANIE 2.6.2

Dane są pola jednostkowej siły masowej:

1.    F = y i + z j +xk,

2.    F = xy i + yzj-zxk,

3.    F = yzi-zxj+(x²+y²)k.

Sprawdzić, czy jednorodny płyn nieściśliwy znajdujący się pod działaniem tych pól będzie w stanie równowagi.