Cialkoskrypt3

i

[

[

f

84

2, Statyka płynów

więc

a po scałkowaniu

F_x =-a, F_y =0, F_z = -g, - adx - gdy = 0,

I

<

I

I

ax + gz = 0.

Z powyższej relacji można wyznaczyć kąt 3 nachylenia powierzchni do dna naczynia:

_n dz    a

t_gp=—=—. dx    g

Kąt ten można także wyznaczyć na podstawie geometrii naczynia:

tgP = H/Z.

a z zasady zachowania masy wynika, że (indeks si odnosi się do spoczynku, r do ruchu)    Jł.łAsl -r*

A_s =A_r =>(Rp4h/, a = 2g

stąd

a /

— + h = H, 2g

Y²

H-h

l

W.

u.

H = ⁵-'⁵ +0,2 = 0,327. 2-9,81

\J ZADANIE 2.6.13

Naczynie o kształcie walca (rys. 2.12) obraca się wraz z cieczą dookoła osi pionowej ze stałą prędkością kątową co. Wyznaczyć równanie powierzchni ekwipotencjalnej i ciśnienie w punkcie M.

. i

i

■i '

-:r

85

dp

2. Statyka płynów

Rozwiązanie

Równanie równowagi względnej ma postać:

F_x dx + F dy + F_z dz =

lub we współrzędnych cylindrycznych:

dp

F_r dr + F₀rd© + F_z dz = —,

gdzie rd© jest przyrostem długości w kierunku kąta 0.

Siła masowa jednostkowa jest w tym przypadku wypadkową przyspieszenia ziemskiego g (przyspieszenie ziemskie będziemy uważać za stałe i skierowane równolegle do osi z, oś z jest skierowana w dół) oraz siły odśrodkowej, otrzymamy więc

F_r =^F,² + F* =C0²r.

F = F_x i + F j + F_zk

F_x =to²x = oo² r cos© F = ary = co²r sin ©

F = °-

¹ Z o

Stąd |f| = ^F² + F² + g² = </((n²r)² + g² , więc równanie różniczkowe dla stałego ciśnienia (dp = 0) ma postać:

F_rdr + F₀rd© + F_zdz = a)² • dr + 0 •. rd© + gdz = 0, a po przekształceniu

2 2 co r

+ C,

dz    orr

— =--, stąd z---

dr    g    2g

lub we współrzędnych prostokątnych

F_xdx + F_ydy + F_zdz = —d(a)²x² + co²y²)+ d(gz) = 0.

Po scałkowaniu otrzymujemy:

^-(x² +y²)+gz=C.

W przyjętym układzie współrzędnych przez punkt z = 0 i r = 0 przechodzi powierzchnia swobodna (C = 0), dla której równanie równowagi będzie miało postać:

2 2 co r

+ gz = 0.

2