Cialkoskrypt1

80 2. Statyka płynów

80 2. Statyka płynów

= 1 +1(-1) = 0,

1 + fŁ^l

dx dx

a dla punktu Q

1 + ^dyl..^dy2- = i + (-l)l = 0. dx dx

Zatem krzywe są ortogonalne w obu punktach przecięcia.

ZADANIE 2.6.9

Funkcja postaci y = 2x + 1 opisuje spadek ciśnienia (wtedy p = C-(2x+1)) w przepływie potencjalnym (v = V<b, gdzie O jest potencjałem prędkości)

płynu przez kanał prostoliniowy. Sprawdzić, która z proponowanych funkcji:

yi = 2^x+1,    y₂=-2^x+2

jest opisem izobary w tym przepływie. Wyznaczyć funkcję opisującą rodzinę linii izobarycznych.

Rozwiązanie

Potencjał prędkości O z ciśnieniem wiąże równanie Bernoullego: (Vd>)² p

--— 4- — + h = const, v - V<f> ,

2g Pg

a gradient potencjału prędkości <t> wskazuje kierunek największego wzrostu (spadku) tej funkcji, co pociąga za sobą największy wzrost ciśnienia dla h = const. Należy rozważyć dwie pary funkcji (rys. 2.9):

y = 2x +1

1

— x 2

a)

y = 2x + l 1

y, = — x + 1 ^! 2

Współczynniki kierunkowe przyjmują postać:

dy₌₂ ^dy’ = ^{1    dy}2 ₌ ¹

dx    dx 2 ’ dx 2

Sprawdzamy warunek ortogonalności:

r_:\

:: ;

_a)1 + ^^ ₌ 1 + 2I = 2,

dx dx    2

b)l +

^dydyj=l + 2i--[ = ₀.

dx dx

Wynika stąd, że równanie y₂ =-x/2 + 2 przedstawia izobarę ortogonalną do linii spadku ciśnienia.

u

Rodzina linii izobarycznych ma więc równanie:

1

y, = — x + C.

² 2

ZADANIE 2.6.10

Wyznaczyć współczynnik kierunkowy wyrażony równaniem różniczkowym trajektorii ortogonalnej do rodziny okręgów x² +y² +ax = 0.

■SI

»!

Rozwiązanie

Kąt przecięcia dwóch linii y(x) i y_t (x) wyraża wzór:

dy <tyi

Si

iii

''I

tgcp= ^dx, <!*-■

_{1 +} ŻL^±

dx dx

Jeśli krzywe są ortogonalne (prostopadłe) do siebie w punkcie przecięcia, to cp = n/2 , stąd warunek ortogonalności (ctgcp = ctg n/2 = 0) ma postać:

, dy dy,    dy    dx

1 + —2--2-1 = 0 => — =--.

dx dx    dx    dy,

Równanie rodziny okręgów różniczkujemy stronami

x² + y² +ax = 0

2x + 2y— + a - 0. dx

i

Tworzymy układ równań postaci:

x² + y² + ax = 0

2x + 2y — + a = 0 dx