Cialkoskrypt5

288 4. Dynamika i przepływy guasi-rzeczywiste

Rozwiązanie

Przepływ cieczy jest ruchem płaskim, który w układzie współrzędnych prostokątnych można opisać równaniami Naviera-Stokesa i równaniem ciągłości:

3^yx —-+ Vv	d^Vx	3^yx + Vv -- + V,	^^Vx	= F -	i ap	+ V	f^3’’-	av +——	+^a2yl
at	ax	’ 3y	az		p 3x		3x^z	ay^2	dz^z J
^9vy ^J J- V	aVy	+ v ^3Vy+v	avy	- P	i ap		^ra^2vy	,^9\	,^3S
at ^+ v*	3x	^+ ’ dy ^+ V’	az		P 3y		^ 3x^2	ay^2	az^2 j
				+ *ł	= 0.
			3x	dy

Ponieważ v_x

v*(y), v_y=0, to

_ ^3v,

3t 3t

= 0,

a_y

f(y).

F_x=gsina, F_y=-gcosa,

więc równania Naviera-Stokesa sprowadzają się do równań różniczkowych zwyczajnych:

g , d^2y0 =—sma +—4L, v dy^2	(a)
o dp 0--pgcosa —-. dy	(b)

Założenie, że v_x = v_x(y) i v_y = 0, powoduje spełnienie równania ciągłości przepływu. Po scałkowaniu równania (a) otrzymuje się:

^dVx

dy

gsin a

y+c„

(c)

(d)

gsina ₂ ^    ^

v = -£—-—y² + C,y + C₂. 2v    ¹

Stałe całkowania wyznacza się z warunków brzegowych: dla y = 0 mamy v = 0, więc C2 = 0, a na powierzchni swobodnej, gdy y = H, dv/dy = 0. Drugi warunek wynika z zerowania się naprężeń stycznych na powierzchni rozdziału faz:

T,=n—^ = 0. dy

y=H

Zatem na podstawie wzoru (c)

dv,

gsma_R

Po podstawieniu stałej C1 do równania (d) otrzymuje się funkcję rozkładu prędkości:

v_v =

gsin a 2v

(2Hy-y²).

(e)

Po scałkowaniu równania (b) otrzymujemy:

p = -pgy cosa + C₃, przy czym gdy y = H, to p = p_b, więc

C₃ = p_b + pgHcosa.

Stąd rozkład ciśnień

P = P_b +pgcosa(H-y).    ¹

Objętościowe natężenie przepływu

Q-JvdA, dA = bdy,

A

gdzie b jest szerokością strumienia w kierunku prostopadłym do rys. 4,36. Zatem

Q = _b|ssin« (_2Hy_ 2)d bgsina n 2v '    ’ ^r 2v

(    jj3> 1__tj 3

H³ - ——

bgH³ sina

3v