Cialkoskrypt2

322 4, Dynamika i przepływy guasi-rzeczywiste

Ad 1. Po dwukrotnym scałkowaniu równania (b) otrzymujemy:

322 4, Dynamika i przepływy guasi-rzeczywiste

(c)

Stałe C s i C 2 wyznaczamy z warunków brzegowych:

r = R, :=> v = a),R,, r = R₂ => v = ft)₂R₂,

stąd

(d)

Z zależności (d) otrzymujemy stałe:

które wstawia się do równania (c) i otrzymuje funkcję rozkładu prędkości:

(e)

Ad 2. Jeżeli brakuje wewnętrznego cylindra, to w rozwiązaniu ogólnym (c) stała C₂ =0, gdyż w przeciwnym razie prędkość v w osi cylindra miałaby wartość nieskończenie dużą, W związku z tym v = C[r, gdy r = R , wtedy v = o)R, Stąd toR = C,R => C, = co, a więc

(f)

v = tor.

Po podstawieniu wzoru (f) do równania (a) otrzymujemy:

dp i

— = pto"r, dr

co po scałkowaniu daje

Założywszy, że w osi cylindra panuje ciśnienie barometryczne p_b, czyli że gdy r = 0, wtedy p = p_b, wyznacza się stałą całkowania: C₃ =p_b i stąd rozkład ciśnienia opisuje funkcja:

(g)

Ad 3- Gdy nie ma zewnętrznego cylindra, wówczas w równaniu (c) stała Cj =0, gdyż w przeciwnym razie v—»«> dla r—><*>, stąd v = C₂/r, przy czym dla r = R mamy v = o)R, czyli

coR=^l => C₂=ffiR², r

a więc

v

(h)

Po podstawieniu wzoru (h) do równania (a) otrzymujemy:

dp _ po)²R⁴ dr “ r³ ’

a po scałkowaniu

P = '

porR'

2r²

+a

Gdy r—>°°, wtedy p = p„, czyli C₄ =p_M, a stąd mamy

P = P,

pco²R⁴

1F

Ad 4, Naprężenia styczne w cieczy są określone następująco:

d

t — vpr— dr

(i)

Stąd po podstawieniu równości (i) do wzoru (e) i zróżniczkowaniu otrzymujemy:

2vp

r,²-r,²

(o)₂ ffl,)R₂ R

¹ r²

Ponieważ 0)₂ =0), (0; =0, to

_ co R₂²R,² x-2vp^~~—~—

r²(R₂²-R,²)

Moment obrotowy w wiskozymetrze (rys. 4.54) M(r) = xAr, gdzie A ~ 27irL, zatem

co R₂²R,²

M = 2vp ,    ,

r² (R,^z-R,²)

ŻTtrLr =

47tvpCGR₂²R₁²L

R₂²-Ri²