materiał do egzaminu1

Zakres materiału do egzaminu z ” Analizy matematycznej”.

1. Liczby rzeczywiste.

Liczby. Ciało liczb rzeczywistych. Relacja uporządkowania liczb rzeczywistych. Ciągłość ciała liczb rzeczywistych. Krańce zbiorów liczbowych. Rozszerzony układ liczb rzeczywistych.

2. Odwzorowania i ich własności.

Definicja pojęcia odwzorowania (funkcji). Sposoby określenia funkcji. Wykres funkcji. Ważniejsze klasy funkcji. Superpozycja funkcji. Pojęcie funkcji odwrotnej. Funkcje cyklometryczne (kołowe).

3. Ciągi i szeregi liczbowe.

Ciąg liczbowy i jego granica. Podciągi. Ciągi zbieżne. Kryteria zbieżności. Punkty skupienia. Ciągi Cauchy’ego. Granice nieskończone. Symbole nieoznaczone. Granice górna i dolna. Szeregi liczbowe. Suma szeregu. Zbieżność szeregów. Kryteria zbieżności szeregów (twierdzenia o porównywaniu szeregów, kryteria zbieżności Cauchy’ego, d’Alemberta i inne). Zbieżność bezwzględna i zbieżność warunkowa. Szeregi naprzemienne. Twierdzenie Leibnitza. Przekształcenie Abela. Kryteria Abela i Dirichleta. Zmiana kolejności sumowania. Twierdzenie Riemanna

4. Granica funkcji.

Definicje granicy funkcji. Warunki istnienia granicy funkcji. Twierdzenia o granicach funkcji (działania na granicach). Granica funkcji monofonicznej. Ogólne kryterium Boltzano - Cau-chy’ego. Granice nieskończone i granice w nieskończoności. Klasyfikacja wielkości nieskończenie małych i nieskończenie dużych. Asymptoty funkcji.

5. Ciągłość funkcji.

Funkcje ciągłe. Działania na funkcjach ciągłych. Superpozycja funkcji ciągłych. Ciągłość jednostronna. Klasyfikacja nieciągłości. Ciągłość funkcji monofonicznej. Twierdzenie o zerowaniu się funkcji oraz zastosowanie do rozwiązywania równań. Twierdzenie o wartości średniej. Twierdzenia o ograniczoności funkcji (twierdzenia Weierstrassa). Pojęcie ciągłości jednostajnej. Twierdzenie Cantora.

6. Różniczkowanie.

Zadanie obliczenia prędkości poruszającego się punktu. Zadanie znalezienia stycznej do krzywej. Definicja pochodnej. Ciągłość i różniczkowalność. Różniczka. Reguły różniczkowania. Niezmien-niczość wzoru na różniczkę. Różniczki jako źródło wzorów przybliżonych. Pochodne i różniczki wyższych rzędów.

7. Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego.

Twierdzenie Fermata. Twierdzenie Darboux. Twierdzenie Rolle⁵a. Wzór Lagrange’a. Granica pochodnej. Wzór Cauchy’ego. Twierdzenia de L’Hospitala. Wzór Taylora.

8. Badanie funkcji za pomocą pochodnych.

Warunek monotoniczności funkcji. Ekstrema funkcji. Maksima i minima; warunki konieczne oraz warunki dostateczne. Znajdowanie wartości największych i najmniejszych. Funkcje wypukłe i wklęsłe. Warunki wypukłości oraz wklęsłości funkcji. Punkty przegięcia. Konstrukcja wykresów funkcji.