0602

604

XIV. Całki zależne od parametru

/ _g2 \-»

Gdy n rośnie nieograniczenie, to funkcja 11 + -jj-1 maleje monotonicznie dążąc przy tym do funkcji granicznej er²*. Opierając się na podanym w ustępie 518 wniosku, który pozostaje prawdziwy dla funkcji malejącej monotonicznie, możemy przejść do granicy pod znakiem całki. Granicę prawej strony wyznaczymy przy tym posługując się wzorem Wallisa [317], Ostatecznie otrzymujemy

/

o

e

[por. 492, 2°].

10) Znana całka Fejerą [309, 5) (b)]

n/i .    .₂

1 f jJłSJJLj _{dz =} 2L, w J \ sin z /    2

O

może być przez podstawienie z =» —sprowadzona do postaci

Przejście do granicy dla n -*• oc jest tu utrudnione przez to, że od parametru n zależy nie tylko funkcja podcałkowa, ale i górna granica.

Przyjmując jednak

dla 0 < X < u- y7C

AM

oraz

/,(x) *= 0 dla pozostałych wartości a-,

możemy napisać

f fn(.x)dx - ylt. o

Oczywiście dla każdego x>0,

lim =

»-w    \ x /

przy czym funkcja/„(A) dąży do swej granicy jednostajnie w dowolnym przedziale skończonym <0, A). Poza tym wiemy, że dla 0<z< -j-rc jest

sin z ^ 2

^1-1 4^    *

2    TT