0650

652

XIV. Całki zależne od parametru

Zamieńmy po obu stronach funkcję B przez wyrażenie (14) przedstawiając ją za pomocą funkcji r. Dostaniemy

r(_a)r(a) i r(4-)r(a)

r(2a)    2* r(a+±) '

Upraszczając przez r (a) i podstawiając w miejsce /¹(4^_) jej wartość ]/« [por. (16)] dochodzimy do wzoru Legendre'a

(20)

532. Jednoznaczne określenie funkcji r na podstawie własności. Wiemy, że funkcja r (a) jest ciągła ■wraz ze swą pochodną dla dodatnich wartości argumentu. Ponadto [patrz (9), (20) i (15)] spełnia ona równania funkcyjne

(I)    0 (a+1) =• a0 (a), (II) 0 (a) 0 (a + -¹-) = -fi*- 0 (la), (III) 0(a)0(l-a) = ----- .

\    2/    2²*^-1    sinan

Wykażemy, że te własności łącznie charakteryzują całkowicie funkcję r, innymi słowy — każda funkcja mająca te własności jest identyczna z funkcją r.

Same własności (I) i (II) nie wystarczają do tego, ponieważ oprócz funkcji r ma je też funkcja

0 (a) — F (a) [4 sin^J<m]^ (dla ft > 0) .

Podobnie, nie wystarczają własności (II) i (III), bo maje również funkcja 0 (a) = r (a)■ z-»'*    (dla z > 0) .

Wreszcie, własności (I) i (III) pozwalają, oczywiście, dowolnie określać wartości funkcji 0 (a) dla 0<a< — . Inaczej jest, gdy funkcja ma mieć wszystkie trzy własności. Własność (III) może być zresztą zastąpiona przez warunek słabszy, mianowicie przez warunek, aby funkcja 0 (a) dla a>0 nie przybierała wartości równych 0, co właśnie wynika z (III) (*).

A więc, niech funkcja 0 (a) będzie ciągła dla a>0 wraz ze swą pochodną, niech będzie różna od zera i niech spełnia warunki (I) i (II). Udowodnimy, że 0 (a) = r(a).

Przyjmijmy 0 (a) = M(a) r(a); funkcja M(a) jest, rzecz jasna, również ciągła wraz ze swą pochodną i różna od 0. Oprócz tego, ponieważ zarówno 0 (a) i T (a) spełniają warunki (I) i (II), więc Af (a) czyni zadość warunkom

(I') M(a+1) = M (a)    i (II') M (a) M (a+ i) = M (la) .

Z (I') widać, że funkcja M (a) ma przy a ->• +0 granicę skończoną. Jeśli tę granicę przyjmiemy za wartość M (0), to funkcja M (a) będzie ciągła wraz ze swą pochodną aż do punktu a = 0 włącznie.

Zauważmy, że z (II') dla a— -- wynika, iż M (y) = 1; znaczy to, że M (a)> 0 dla wszystkich wartości a>0. Możemy więc rozważać funkcję

L (a) — ln M (a) ,

która jest również ciągła wraz ze swoją pochodną dla a> 0 i czyni zadość warunkom (I") L (tf+1) = L (a) i (II') L (a)+L (j+ |) = L (la) .

(‘) Dla 0<o< 1; dla pozostałych wartości a warunek ten wynika już z (I).