liczby Z 9
26
26
\rn(z).' Argument każdej go argumentem głównym liczby z i oznaczam (2.19). W szczególności
■iczby , — + V (»* ®) bi (* «« - <®» >»* t.lub-5
(2.20)
2. Liczby zespolone
w. o) 7(rr«-1®»1 «»•* -i
Argura<!n'liczby ^
od liczby urojonej można także wyznaczy
f aretan (6/a) jeśli a >
Arg (o + bj) - aretan (6/a) + a jeśli a < 0 . t>» 0,
( aretan (b/a) - tt jeśli a < 0 i b < 0.
Argument liczby z = 0 jest nieokreślony (ale możemy także przyjąć, że argumentem zera jest dowolna liczba rzeczywista).__
Przykład 22. Dla liczb -1 +3 oraz -s/3-j wobec (2.20) mamy
7r 3
Arg (—1 + j) = arctan(—1/1) + ?r = -- + vr - -vr
oraz
5
6
Arg(-\/3 -j) = arctan(l/v/3) - ir = - - ir -
Z (2.18) i (2.19) wynika, że liczbę zespoloną 2 można przedstawić w postaci
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
z = |z|(cosc* + jsina), (2.21)
zwanej postacią trygonomet^czną (lub biegunową) liczby 2:, w której a jest argumentem liczby z, czyli a = arg (z).
oraz
Rys. 2.10
Przykład 23. Dla liczb z poprzedniego przykładu mamy co^a+jsma -1 + j = | - 1 + j\(cos arg (-1 + j) + j sin arg (-1 + j))
«=|«|(cosa+jsina) = \/2(cOS ^7T + j sili ^7r)
-y/3-j = 2(cos(- §7r) + j sin(-§7r)) = 2 (cos |tt - j sin |tt).
Zalety postaci trygonometrycznej liczby zespolonej uwidaczniają się przy mnożeniu, dzieleniu, potęgowaniu i pierwiastkowaniu liczb zespolonych. Załóżmy, że znamy postać trygonometryczną liczb z i w, powiedzmy z = |z|(cosa + jsina) i w — |u/|(cos/3 -l- jsinfi). Łatwo zauważyć, że liczby te są równe wte-} i tylko wtedy, gdy mają one równe moduły i gdy ich argumenty różnią się o całkowitą krotność liczby 2n. Dla iloczynu liczb z i w mamy
zw = WM(cosa + jsina)(cos/? + jsinfi)
= \z\\w\((cos a cos (3 - sin a sin 0) + j(sin a cos (3 + cos a sin (3))
— |2|M(cos(a + 0) + j sin(c* + (3)')
= |zw|(cos(a + 0) -f jsm(a + (3)),
doŚluTelTińlygT0”etryCZn* liczby ™ i ponownie wynika, że “moduł
argmUSt I cTb a ! 177 m°du>ów’'’ M = WM. ■ dodatkowo, że suma * ° llczb z 1 w Jest argumentem iloczynu zw,
____ arS (z) + arg (w) = arg (zw). (2 22j
bólu Arg (,) “» W- a
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
4. DEFINICJA Wartością bezwzględną liczby x € R nazywamy liczbę
liczby Z 1 362. Liczby zespolone; Wniosek 2.6.1. Dla liczb zespolonych z = ze3* i w = we3Xi> oraz
liczby Z 2 Rozdział 2LICZBY zespolone2.1. Liczby zespolone i działania na liczbach zespolonych Niech
liczby Z 3 2. Liczby zespolone Dowód, (a) i (6). Z przemieńności i łączności zwykłego dodawania licz
liczby Z 4 21 2 i Lir/by zospoloin* i działania na liczbach zespolonych Począwszy od tego miejsca dz
liczby Z 5 22 2. Liczby zespolone Dowód. Łatwo zauważyć. » *. M, — * - W) — <“>■ «*«• <“>
liczby Z 6 23 Sprzężenie liczby zespolonej z=a—bj Rys. 2.4 ^o^Oprz^żenie i moduł liczby zespolonej__
liczby Z 7 2. Liczby zespolono, . n,bi jest odległością pun
liczby Z 8 25 25 Postać trygonometryczna liczby zespolonej Przykład 21. Na płaszczyźnie zesoolnn • n
liczby Z0 .) j pnstać trygonometryczna liczby zespolonej Obie te obserwacje pozwalają uzasadnić pop
liczby Z1 28 2. Liczby zespolone; _ ( _ *)) ) = /2 (cos -f j sin Ifi). = 26 ( cos 7rr + j sin ^7r)
liczby Z2 ^^pierwiastkowanie liczb zespolonych__ 4. pierwiastkowanie liczb zespolonych Definicja 2.
liczby Z3 Pierwiastki z jedności 2krc . . 2/ctr ek = cos--h J sin (2.29) n n dla k = 0, 1, .... n-1
liczby Z4 f 9J. Pierwiastkowanie liczb ______ pierwiastki stopnia drufęieeo » i-
liczby Z5 2. Liczby zcsi • nv jeszcze jeden sposób wyznaczania ,v k0,ej„ym twiertamiu P^^^onej. W t
liczby Z6 33 2.5. Wzory Eulera, j„d 36. Rozwiązać równanie x2 - (2 4- j)x + (-1 + 7j) = 0. przyKI p
liczby Z7 2. Liczby zespolone 34 Dodaj,c lub odejmując stronami równości (2.39) i (2.40), otrzymuje
liczby Z9 36 2. Liczby zespolone Wniosek 2.6.1. Dla liczb zespolonych z =
więcej podobnych podstron