liczby Z8

25

25

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Przykład 21. Na płaszczyźnie zesoolnn •

_nvcłl z, które spełniają podane warunki;    *blór tych liczb zespoło

wi lz + 1- 2j\ = 3;

(b) 2<\z-l- 3JI < 4;

(c)    /z - ll < Im (z) + 2.

(a) Ponieważ

.... ¹ ^ ¹    = ³ b - (-1 + ₂j)| _ ₃

w.ęc rozważany zbiór jest zbiorem wszystkie    , ,

od punktu zo = -1 + 2>. Zatem jest _lo okl o7    ^{W odle}g‘ości r = ₃

i promieniu r = 3, zob. rys. 2.6.    ^{ąg srodku} w punkcie żo = -1 + ₂ ■

^{W    Zb}'^{Ór Sk,ada} * ² ** i W. tych _{dla których}

² « I* - <1 + 3y)| _S ą,

czyli jest to zbiór tych z, których odległość nrl ,

(2; 4). Zatem jest to pierścień kołowy o środku w“ *° T ^{1+3j jest ,iczb}*² przedziału wewnętrznym r = 2 oraz promieniu zewnętrznymR    = ¹ + 3j i promieniu

(c) Dla liczby z = * + j y (gdzie *,    « = ⁴’ ²°^b'    ^

k-lUtaW + 2 « l(x-_1)+i„_{Ubl(t + jv)+2}

^    ^ y _{+ 2}

<3- y > L^x-D²~4

i stąd wynika, że rozważany zbiór iest zhir.ro,,,    . ,

leżą na lub nad parabolą y = l?-¹)²-*    ,    ' ^ws/ystklch punktów z = _x + jy, które

J--, zob. rys. 2.8.

2.3. Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Każdą różną od zera liczbę zespoloną z = a + bj można przedstawić w postaci

(2.18)

a ponieważ

^{z = |z|1}

z ) ⁺ ( Ul J a² + 6² ^ a² + b²

a*

+

= 1,

więc jedna z liczb a/|z| i b/\z\ jest sinusem, a druga cosinusem tej samej liczby rzeczywistej a i dlatego możemy przedstawić następującą definic ję.

Definicja 2.3.1. Argumentem liczby zespolonej z = a + bj ^ 0 nazywamy każdą liczbę rzeczywistą a, oznaczamy ją także symbolem arg (2), dla której

b

Argument liczby zespolonej

a

—- = cos a i

z

= sina.

(2.19)

Geometrycznie argument liczby z jest miarą kąta skierowanego jaki wektor Oz tworzy z dodatnim kierunkiem osi Oz (rys. 2.9). Z okresowości    .

nusa wynika, że każda liczba zespolona z # 0 ma nieskończenie w.ele argumentów o i każde dwa z nich różni, * o caftowitą krotność heżby 2.. Sposrod^

mentów o liczby z dokładnie jeden spełnia merownosc. -*<“<*■ nazywamy