liczby Z 3
2. Liczby zespolone
Dowód, (a) i (6). Z przemieńności i łączności zwykłego dodawania liczb rzeczywistych wynika przemienność i łączność dodawania © określonego wzorem (2.2). Istotnie, jeśli (a. 6), (c,d), (ej) to mamy
(a,6) © (c,d) = (a + c,6 + d) = (c + a,d + 6) = (c,d)©(a,6)
(definicja działania ©) (przemienność działania f) (definicja działania ©)
oraz
(a. 6) © ((c, d)©(e,/))
= (a, 6) © (c 4- e, d *f /)
= (fl + (cłe),6+(rf + /)) = ((a -f c) + e, (6 -f d) + /) = (a + c,6 + d)©(e,/)
= ((a, 6) © (c, d)) © (e, /).
(definicja działania ©) (definicja działania ©) (łączność działania +) (definicja działania ©) (definicja działania ©)
(c) Liczba (0,0) jest elementem neutralnym działania ©, bo dla każdej liczby zespolonej (a, 6) mamy
(a, 6) ©(0,0) = (a-f 0,6 + 0) = (a,6).
(d) Liczba (-a, -6) jest liczbą przeciwną do liczby (a, 6), bo
(a, 6) © (-a, -6) = (a + (—a), 6 + (—6)) = (0,0).
(e) i (/). Mnożenie <g> jest przemienne i łączne w zbiorze C, bo dla każdych liczb zespolonych (a, 6), (c, d), (ej) jest
(a, 6) ® (c, d) = (ac - 6d, ad + 6c) (definicja działania ®)
= (ca — d6, cb + da) (przemienność mnożenia
i dodawania liczb rzeczywistych) = (c, d) ® (a, 6) (definicja działania 0)
oraz
(a, 6) ® ((c, d) ® (e, /)) = (a, 6) ® (ce - d/, cf + de)
= (a(ce - d/) - 6(c/ + de), a(c/ + de) + 6(ce - d/)) = ((ac - bd)e - (ad + 6c)/, (ac - bd)f + (ad + 6c)e) = (ac — 6d, ad + 6c) ® (e, /)
= ((a, 6) 0 (c,d)) <g> (e,/).
(p) Liczba (1,0) jest elementem neutralnym działania <g>, bo dla każdej liczby zespolonej (a, b) jest
(a, b) ® (1,0) = (a-l -6 0, a-0 + 61) = (a,6).
i liibi liczb« « C- {(0.0)} • Wtedy a2 + t,! / 0
( /( + b ), b/(a + b )) istnieje i jest to liczba odwrotna do liczby (a, 6),
—62
—ab
ab
2+62’a2+62 + fl2 + 62 J ~ (CO).
(•) W końcu dla każdych lictb tespolonych (a, (c,d) i (e./) mamy
(«. H®((c.d)® («,/,) _ (a,b)®(c + e,d + f)
(«fc + e) - h(d + f ),a{d + f ) + b(c + ej)
= ((«c - ód) + (ae - 6/), (od + óc) + (a/ + 6e))
(ac - 6d, ad + bc) © (ae - 6/, a/ + 6e)
T d = ((o.l>)®(c,d))® ((a,tj0(Ci/)j
w“ dodawania ® i to Jednookie
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
4. DEFINICJA Wartością bezwzględną liczby x € R nazywamy liczbę
liczby Z 1 362. Liczby zespolone; Wniosek 2.6.1. Dla liczb zespolonych z = ze3* i w = we3Xi> oraz
liczby Z 2 Rozdział 2LICZBY zespolone2.1. Liczby zespolone i działania na liczbach zespolonych Niech
liczby Z 4 21 2 i Lir/by zospoloin* i działania na liczbach zespolonych Począwszy od tego miejsca dz
liczby Z 5 22 2. Liczby zespolone Dowód. Łatwo zauważyć. » *. M, — * - W) — <“>■ «*«• <“>
liczby Z 6 23 Sprzężenie liczby zespolonej z=a—bj Rys. 2.4 ^o^Oprz^żenie i moduł liczby zespolonej__
liczby Z 7 2. Liczby zespolono, . n,bi jest odległością pun
liczby Z 8 25 25 Postać trygonometryczna liczby zespolonej Przykład 21. Na płaszczyźnie zesoolnn • n
liczby Z0 .) j pnstać trygonometryczna liczby zespolonej Obie te obserwacje pozwalają uzasadnić pop
liczby Z1 28 2. Liczby zespolone; _ ( _ *)) ) = /2 (cos -f j sin Ifi). = 26 ( cos 7rr + j sin ^7r)
liczby Z2 ^^pierwiastkowanie liczb zespolonych__ 4. pierwiastkowanie liczb zespolonych Definicja 2.
liczby Z3 Pierwiastki z jedności 2krc . . 2/ctr ek = cos--h J sin (2.29) n n dla k = 0, 1, .... n-1
liczby Z4 f 9J. Pierwiastkowanie liczb ______ pierwiastki stopnia drufęieeo » i-
liczby Z5 2. Liczby zcsi • nv jeszcze jeden sposób wyznaczania ,v k0,ej„ym twiertamiu P^^^onej. W t
liczby Z6 33 2.5. Wzory Eulera, j„d 36. Rozwiązać równanie x2 - (2 4- j)x + (-1 + 7j) = 0. przyKI p
liczby Z7 2. Liczby zespolone 34 Dodaj,c lub odejmując stronami równości (2.39) i (2.40), otrzymuje
liczby Z9 36 2. Liczby zespolone Wniosek 2.6.1. Dla liczb zespolonych z =
liczby Z 9 26 26 n(z). Argument każdej go argumentem głównym liczby z i oznaczam
liczby Z8 35 o fi Postać wykładnicza liczby zespolonej Dowód. Udowodnimy tylko pierwszą równość. Dw
więcej podobnych podstron