liczby Z7

2. Liczby zespolono

,    .    _n,_bi jest odległością punktu (a, b) od początku układu

Moduł liczby * = ^a + ^b\    v«e_nnlniivch = ai + jbi i *2 = a₂ 4- jb₂

współrzędnych. Ogólniej, c a icz -    ^ ^ j_{egt oc}jJegło ścią pomiędzy i z₂

(gdzie «„    h e R)    w * L + >te)l =    I(«| - <*) + **. -

(zob^rys^S^ojfi 22I    ^ _{z jest liczbą} rzeczywistą, to z - a+Oj (dla

~Jo^R) i W = W, co jest wartością bezwzględną z liczby a = z. Pojęcie

pewnego a € k *1 v , J _uogółnieniem pojęcia wartości bezwzględnej.

'ITuiuT^awiono w następuje “„iu.

Twierdzenie 2.2.2. 7es7i z,w£C, to:

(а)    |z\ = yf*, kl = kl = I ^{_ z}l’

(б)    M = klM» |£| = iSr^ °)^;

(c)    kl > |Re (z)| > Re (z), kl > l^Im(²)l > ^Im(^z)>

(d)    \\z\-\w\\ < k + H < NI + H-

Dowód. Udowodnimy tylko część (d). Z części (a) - (c) oraz z twierdzenia 2.2.1 kolejno

mamy    _ _    _

\_Z + w\² = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w) _

= zz + ZW+ŹW + ww - |z|² + zw + (zw) + kl² - \z\² + 2Re(zu7) + kP $ |z|² + 2|zuJ| + M² = |z|² + 2|z||uJ| + k|² = jzj² + 2|z|k| + k|² = (kl + kl)² i z tego wynika, że |z + to| ^ |z| + kl- Dodatkowo wobec (a) mamy

l«vl — U _1_ nA _l_ (—*«iM <" I-r 4- 7/il 4- I — 7/J rr 17. 4- w i 4-    _

czyli |z| - kl ^ k + H- Z tych samych powodów jest kl ^— kl ^ k + H- Z tych nierówności wynika, że ||z| — kl| ^ k + w\ i to kończy dowód (d). □

Wniosek 2.2.1. Dla każdej liczby naturalnej n i każdych liczb zespolonych z, z_u...,z_n jest:

(1)    kⁿ| = klⁿ * k^_n| = kl“ⁿ (^z Ź 0);

(2)    kl + ^z2 + • . • + Zn\ ^ kil + kżl + ... + knl-

Przykład 19. Znaleźć moduł liczby z = ——V Tt^—z~r-Wobec definicji 2.2.2 i twierdzenia 2.2.2 marny

|₇| = k + j|²    ₌    (V2^TT^)²    _    5    ₌ i_

|1 + 6j 111 — 7j\    /fzTjTp yjT^Z7)2    v/37\/5Ó Vl4'

Przykład 20. Wyznaczyć zbiór punktów z spełniających

\z + 2j\= A\z — 2j\.

Korzystając z postaci kanonicznej x + jy liczby zespolonej z, równanie \z + 2j\ = 4\z — 2j\ można zapisać w postaci \x 4- jy + 2j\ = 4|x 4- jy — 2j\ lub y/x² 4- (y 4- 2)²

= 4>/x² 4- (y - 2)². Po podniesieniu obu stron do kwadratu i redukcji otrzymujemy 15x² + 15y² — 68y 4- 60 = 0, czyli

₂    /    34 \ ²    / 16\ ²

^{1 +}k75) ⁼ Cis) ■    ;j

co jest równaniem okręgu o środku w punkcie (0, ff) i promieniu długości y|.

równanie