Wykład 4. Wyznaczanie błędów standardowych i testowanie hipotez o istotności parametrów;

W modelu ekonometrycznym wyznacza się dwa rodzaje wariancji , a następnie odchyleń standardowych (zwanych błędami standardowymi lub błędami). I tak wyznacza się błąd dla reszt modelu oraz błędy dla poszczególnych parametrów strukturalnych:

- wyznaczanie odchylenia standardowego reszt modelu (błędu dla modelu) odbywa się według wzoru:

; gdzie
n - liczba wierszy ; m- liczba zmiennych niezależnych

- wyznaczanie błędów standardowych dla parametrów strukturalnych odbywa się według wzoru

gdzie
są to elementy lezące na głównej przekątnej macierzy

 
- macierz wariancji i kowariancji parametrów strukturalnych wyznacza się ją ze wzoru:
=

Testowanie parametru c o istotności . Stawiamy dwie hipotezy Ho oraz H1

Ho: c=0 (parametr c jest nieistotny)

H1: c≠0 (parametr c jest istotny)

Hipotezę Ho odrzucamy na korzyść hipotezy H1 (czyli parametr jest istotny)

jeśli
(jeśli
należy do zbioru Krytycznego),

Inaczej mówiąc parametr c jest istotny wtedy gdy

gdzie:

-
( t empiryczne) wyznacza się na podstawie wzoru (zwanego statystyką)

- K zbiór krytyczny wyznaczamy na podstawie
Zbiór krytyczny K składa się z dwóch przedziałów na osi liczbowej:
oraz
. Wartość
 należy do jednego z przedziałów (
) wtedy gdy

-
(t alfa) , wartość
odczytujemy z tablic (rozkładu danej statystyki) dla z góry zadanego poziomu istotności
(np.         
).

Pojęcia:
- poziom istotności (liczba z góry zadana i określająca prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju. To prawdopodobieństwo jest oznaczone symbolem
(i ma być małe najwyżej 0,1, czyli
).

W modelach ekonometrycznych testuje się różne parametry na tzw. istotność. Najczęściej na istotność bada się: a) współczynnik korelacji
b) współczynnik determinacji, c) poszczególne parametry strukturalne stojące przy zmiennych niezależnych w modelu. Przy tym badaniu wszystkie hipotezy stawia się tak samo, ale różnie wyznacza się parametry
oraz
. I tak:

1) Dla istotności współczynnika korelacji jest

→ odczytuje z tablic rozkładu studenta dla n-2 stopni swobody oraz poziomu istotności

2) Dla Współczynnika determinacji
=

= F*odczytuje z tablic F-Fischera Snedecora na przecięciu wiersza
i kolumny
; gdzie:
oraz
stopni swobody dla poziomu istotności
=0,05

n= liczba obserwacji , m=liczba zmiennych (cech) niezależnych w modelu

3) Dla badania istotności parametrów
w modelu regresyjnym liniowym s. 137

→z tablic rozkładu studenta dla n-m-1 stopni swobody oraz poziomu istotności
(lub z rozkładu normalnego)

- odczytać liczbę z tablicy 4 na przecięciu wiersza i kolumny: wiersz → lss = n-m-1; kolumna → P=

Przykłady

Przykład 6.1 na s. 137 (dla punktu 2 i 3)

W celu zbadania koniunktury giełdowej mierzonej wielkością indeksu WIG
oszacowano model na podstawie 20 danych miesięcznych i czterech zmiennych niezależnych (
- przyrost stopy WIBOR;
- miesięczna stopa inflacji;
- łączna wartość mowych emisji w mln zł;
- sałdo obrotó handlu zagranicznego ( w mln zł) i otrzymano:

oraz błędy standardowe dla poszczególnych parametrów strukturalnych (na podstawie D^{2 (}a⁾ wariancji i kowariancji ocen parametrów zob. s. 67):

;
;
;

Ponadto współczynnik determinacji, czyli

Zbadać istotność parametrów w tym modelu na poziomie istotności

Badanie istotności współczynnika determinacji

zatem

= F* z tablic F-Fischera Snedecora z
oraz
, czyli
;

Zatem
= F*= zob. liczba z tablicy 2 oraz
(wiersz) i
(kolumna) = 3,06

Sprawdzamy, czy
; tak, ponieważ
zatem parametr
jest istotny, co oznacza, żę przynajmniej jeden z parametrów
jest istotny.

Sprawdzamy istotność parametrów
, dla każdego parametru.

Wyznaczamy dla każdego parametru
(statystykę) ze wzoru:
. Zatem mamy :

;
;

- odczytać liczbę z tablicy 4 : dla parametrów lss = n-m-1=20-4-1=15 P=
=0,05,

Zatem

Sprawdzamy kolejno istotność, tzn czy

Zatem parametr
jest istotny ponieważ
, parametr
jest nieistotny (ponieważ
nie jest większy od 2,131); parametr
jest istotny, (ponieważ
) natomiast parametr
jest nieistotny . Jeśli parametry są nieistotne, to oznacza, że zmienne objaśnia-jące (niezależne) są nieistotne nie mają one żadnego wpływu i należy je usunąć z modelu

Przykład: Na podstawie powyższych danych

y		x	z	w
2		8	4	10	1
0		11	6	20	1
1		10	5	30	1
2		9	2	36	1
2		8	8	35	1
3		5	9	40	1

Skonstruowano następujący model

Oraz obliczono: wariancję reszt
;
=0,98318

	0,069918	0,023989	0,003381	-0,82661
	0,023989	0,042719	-0,00166	-0,39859
	0,003381	-0,00166	0,001939	-0,07458
	-0,82661	-0,39859	-0,07458	11,57709

Sprawdzić czy współczynnik
jest istotny oraz czy wszystkie zmienne objaśniające są istotne na poziomie istotności
(Sprawdzić czy model jest dobry oraz czy wszystkie zmienne należy zastosować w modelu, czyli sprawdzamy wszystkie parametry strukturalne stojące przy zmiennych niezależnych czy są istotne).).

Sprawdzanie
- sprawdzenie czy model jest dobry

=3;
=6-3-1=2;
= F*= 19,16;

Ponieważ
:
, to
jest istotny. Ponieważ współczynnik determinacji
jest istotny to oznacza, że skonstruowany model jest dobry. W dostateczny sposób objaśnia zmienną zależna Y.

Sprawdzanie czy poszczególne zmienne objaśniające (niezależne) są dobre

Należy skonstruować macierz

		macierz
	0,006221	0,002134	0,000301	-0,07354		0,006221	0,078871	-0,52791	-6,69333
	0,002134	0,003801	-0,00015	-0,03546		0,003801	0,06165	-0,14239	-2,30963
	0,000301	-0,00015	0,000173	-0,00664		0,000173	0,013135	0,012996	0,989451
	-0,07354	-0,03546	-0,00664	1,030029		1,030029	1,014903	6,590398	6,493622

- odczyt z tablicy Studenta dla lss=n-2 = 6-3-1=2 oraz
; zatem
=4,303

Sprawdzając kolejno
wynika, że tylko
, co oznacza, że tylko parametr (-0,52791) stojący prze zmiennej X jest istotny, a pozostałe parametry strukturalne są nieistotne, a to oznacza, że zmienne niezależne (Z, W) należy z modelu usunąć i zbudować model tylko ze zmienną niezależną X.

Przykład badania istotności dla współczynnika korelacji s. 34

Sprawdzić czy współczynnik korelacji między zmienną X1 oraz X5 wynoszący 0,1 wyznaczony dla 28 elementów jest istotny na poziomie istotności

; Zatem

- odczytać liczbę z tablicy 4 : dla parametrów lss = n-2=28-2=26 P=
=0,05,

Zatem

Ponieważ
nie jest większe od
(0,512 nie jest większe od 2,056 zatem współczynniki korelacji r(X1, X5) jest nieistotny - co oznacza brak zależności.

Przykład zad. na testowanie istotności współczynnika korelacji s. 35 zad. 2.8

W firmie Progresja produkcja P i koszty całkowite K w ciągu 6 miesięcy przedstawiały się następująco:

P	101	100	98	100	102	101
K	152	151	147	148	155	147

Na podstawie powyższych danych wyznaczono dwie funkcje regresyjne:

oraz
.

Sprawdzić, czy współczynnik korelacji istotnie różni się od zera na poziomie istotności

=0,864

Wyznaczamy
(t empiryczne) na podstawie odpowiedniego wzoru) oraz
(t alfa), którego wartośc odczytujemy z tablic, a następnie te dwie wartości porównujemy

= 3,44

- odczytać liczbę z tablicy 4 - rozkład studenta: dla parametrów lss = n-2=6-2=4
=0,02,

Zatem
= 3,747

Aby parametr był istotny to:
. Ponieważ
nie jest większe od 3,747, zatem współczynnik korelacji jest nieistotny.

Sprawdzanie istotności parametru za pomocą wartości zwanej „pi value”.

Wartość „pi value” - jest to prawdopodobieństwo, które mówi jak duży błąd popełnimy jeśli przyjmiemy, że parametr jest istotny (odrzucimy hipotezę zerową). Jeśli wartość pi value jest większa od z góry ustalonego przez nas poziomu istotności α (błędu I rodzaju) , to parametr jest nieistotny. Wartośc „pi value” można znaleźć w wynikach opcji Regresja. Dla współczynnika determinacji „pi value” odczytuje się pod nazwą „Istotność F”, natomiast dla poszczególnych parametrów strukturalnych „pi value” odczytuje się w kolumnie „Wartość-p”.

Przykład: Na podstawie powyższych danych

y		x	z	w
2		8	4	10
0		11	6	20
1		10	5	30
2		9	2	36
2		8	8	35
3		5	9	40

Skonstruowano następujący model

PODSUMOWANIE - WYJŚCIE
Statystyki regresji
Wielokrotność R	0,983176
R kwadrat	0,966636
Dopasowany R kwadrat	0,916589
Błąd standardowy	0,298281
Obserwacje	6
ANALIZA WARIANCJI
	df		SS	MS	F	Istotność F
Regresja	3		5,155391	1,718464	19,31482	0,049627
Resztkowy	2		0,177943	0,088971
Razem	5		5,333333
	Współczynniki		Błąd standardowy	t Stat	Wartość-p	Dolne 95%	Górne 95%
Przecięcie	6,590398		1,014903	6,493622	0,022904	2,223622	10,95717
Zmienna X 1	-0,52791		0,078871	-6,69336	0,0216	-0,86727	-0,18856
Zmienna X 2	-0,14239		0,06165	-2,30958	0,147179	-0,40765	0,122874
Zmienna X 3	0,012996		0,013135	0,989441	0,426735	-0,04352	0,069509

Na podstawie wyników z opcji Regresja wydać że współczynnik determinacji jest istotny dla poziomu istotności
, ale już dla poziomu istotności
nie jest istotny (jest nieistotny)

Natomiast parametry strukturalne dla
są wszystkie nieistotne za wyjątkiem parametru stojącego przy pierwszej zmiennej w modelu ponieważ dla tego parametru „ pi value” =0,0216 i wartość ta jest mniejsza od
. Zatem w tym modelu istotna jest tylko zmienna X , natomiast zmienne Z oraz W są nieistotne i należy je usunąć z modelu.

4

---