STATYSTYKA, WYKLAD I
Literatura: np. Statystyka medyczna w zarysie - A. Petrie, C Sabin
np. Statystyka od podstaw - J. Jóźwiak, J. Podgórski
Statystyka to zbiór metod służących pozyskiwaniu, prezentacji i analizie danych.
Pozyskiwanie danych następuje w procesie badania statystycznego, w ramach którego prowadzi się obserwację statystyczną (wykonanie pomiarów lub zliczania).
Podstawowym zadaniem statystyki jest analiza i interpretacja danych.
Bardzo często wiedzę o badanym zjawisku pozyskujemy na podstawie danych częściowych. Aby się o tym zjawisku wypowiadać należy użyć metod statystyki matematycznej, która posiłkuje się rachunkiem prawdopodobienstwa.
Zdarzenia i ich prawdopodobieństwo
Df 0. Doswiadczeniem losowym (probabilistycznym) nazywamy doswiadczenie ktorego wynik nie jest z gory przesadzony.
Przykłady: Rzut monetą, Omega = {1, 2} (zdarzenia elementarne: wyrzucenie orła, reszki);
rzut kostką o 4 ściankach, Omega = {1, 2, 3, 4} (zdarzenia elementarne: wyrzucenie jedynki, dwójki, trójki, czwórki)
Df 1. Zdarzeniem nazywamy każdy podzbiór Omega.
Przykład: Dla rzutu kostką o 4 ściankach zbiór A = {2,4} reprezentuje zdarzenie polegające na wyrzuceniu dwójki lub czwórki (lub inaczej mówiąc parzystej liczby oczek).
Df4. Zdarzenie A jest zawarte w zdarzeniu B, A(B, (B wynika z A), gdy kazde zdarzenie elementarne.....................xD
Przyklad. A={2}, B={2,4}, bo wyrzucenie dwójki oznacza wyrzucenie liczby parzystej.
Df 5. Alternatywą lub sumą zdarzen A i B nazywamy zdarzenie C skladajace sie z tych zdarzen elementarnych, ktore naleza do co najmniej jednego z tych zdarzen,
C = A u B.
Df 6. Koniunkcją lub iloczynem zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie C składające się z tych wszystkich zdarzen elementarnych, które należą do obu zdarzen,
C = A (odwrotne U) B
Przykład: Niech A = {1,2,3}, B = {2,4}. Częścią współną zdarzeń: wyrzucenie liczby oczek mniejszej od 4 oraz wyrzucenie parzystej liczby oczek jest wyrzucenie dwójki,
C = {2}.
Df 7. Różnicą zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie C = A/B, skladajace sie z tych zdarzen elementarnych, ktore naleza do A i nie naleza do B.
Przykład: Niech A = {1, 2, 3}, B = {2,4}, wtedy C = {1,3}.
Df 8. Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A, nazywamy zdarzenie A' (najlepsze oznaczenie -> kreska nad A zamiast A'), skladajace sie z tych zdarzen elementarnych, ktore nie naleza do A: A' = Omega/A
Przykład: niech OM będzie zbiorem n-elementowym. Rodzina (zbiór) wszystkich jego (różnych) podzbiorów zawiera 2^n elementów.
Dla dowolnego zbioru OMEGA, przez 2^OMEGA oznaczamy rodzinę jego podzbiorów.
Aksjomatyczna definicja prawdopodobienstwa
Niech omega będzie przestrzenia zdarzen elementarnych. Prawdopodobienstwem P nazywamy funkcję P: 2^omega------->R spelniajaca nastepujace aksjomaty:
A1. (Nieujemność) Dla każdego zdarzenia A prawdopodobienstwo P(A) jest liczbą nieujemną, P(A) mniejsze lub rowne 0.
A3. (Skonczona i przeliczalna addytywnosc pradopodobienstwa)
Prawdopodobienstwo alternatywy skonczonej lub przeliczalnej liczby parami rozlacznych zdarzen jest rowne sumie prawdopodobienstw tych zdarzen,
Podstawowe wlasnosci prawdopodobienstwa wyrazaja nastepujace twierdzenia.
T1 Dla kazdego zdarzenia A
P(A) = 1 - P(A) [A ma nad soba kreske poziomą].
Klasyczna definicja prawdopodobienstwa
Prawdopodobienstwo P(A) zdarzenia A dane jest wzorem:
P(A) = NvA/N, gdzie N jest ogolna liczba mozliwych wynikow doswiadczenia, NvA (N z dolnym indeksem A) liczba wynikow sprzyjajacych zdarzeniu A (pod warunkiem ze sa one jednakowo mozliwe).
Uwagi:
-prawdopodobieństwo znajduje się bez przeprowadzania doświadczenia.
-definicja klasyczna może byćużyta do ograniczonej klasy zagadnień
-
Częstościowa definicja prawdopodobieństwa
Gdy w n powtórzeniach doświadczenia
uwagi:
-jest najważniejsza dla statystyki, prawdopodobieństwo znajduje się na podstawie doświadczenia.
-doświadczenie możemy potórzyć skończoną liczbę razy, zachodzi więc pytanie jak się ma otrzymana w wyniku n-krotnego powtórzenia doświadczenia liczba P(A)=Na/N
-zagadnienie powyższe można uściślić i oszacować dokłwdność przybliżenia prawdopodobieństwa przez częstość względną na podstawie twierdzeń granicznych teorii prawddopodobieństwa.
Rozważamy dyskretną przestrzeń zdarzeć elementarnych, tj. zawierającą skończoną lub przeliczalną liczbę elementów.
df.10 Wartości funkdji prawdopodobieństwa na zdarzeniach elementarnych
Pi
T6. dla każdego zdarzenia A
P(A) = suma(
df.11 zmienną losową nazywamy funkcję X określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych omega o wartościach rzeczywistych: X:omega strałka R
przykład 1.
omega2={małaomega1, małaomega 2} X(małaomega1)=1 X(małaomega2)=0
przykład 2.
omega2={małaomega1, małaomega2, ... , małaomega6}
X(małaomegak)=k (k=1, ... ,6)